Каковы максимальное и минимальное значения функции [tex]y = ln(2x - 1) + 2ln(8 - x)[/tex] на данном отрезке?

Для нахождения максимального и минимального значения функции \(y = \ln(2x - 1) + 2\ln(8 - x)\) на данном отрезке, мы должны проанализировать ее поведение на этом отрезке и найти экстремумы.

Для начала, нужно найти область определения функции \(y\), чтобы узнать, в каких пределах мы будем искать значения. Область определения функции \(\ln\) - это положительные числа. Таким образом, мы должны найти значения \(x\), для которых аргументы \(\ln\) больше нуля.

Давайте рассмотрим каждый аргумент по отдельности:

Аргумент \(\ln(2x - 1)\) должен быть больше нуля. Решим неравенство:
\[2x - 1 > 0\]

Добавляем 1 к обеим частям:
\[2x > 1\]

Делим на 2:
\[x > \frac{1}{2}\]

Таким образом, мы получаем, что аргумент \(\ln(2x - 1)\) будет больше нуля только в том случае, когда \(x > \frac{1}{2}\).

Теперь рассмотрим аргумент \(\ln(8 - x)\). Опять же, мы хотим, чтобы он был больше нуля:
\[8 - x > 0\]

Вычитаем 8 из обеих частей:
\[-x > -8\]

Меняем знак:
\[x < 8\]

Таким образом, мы получаем, что аргумент \(\ln(8 - x)\) будет больше нуля, только при \(x < 8\).

Теперь давайте рассмотрим оба аргумента вместе. Мы ищем значения \(x\), при которых оба аргумента больше нуля:
\[\frac{1}{2} < x < 8\]

Таким образом, область определения функции \(y\) на данном отрезке - это интервал \(\left(\frac{1}{2}, 8\right)\).

Чтобы найти экстремумы функции \(\ln(2x - 1) + 2\ln(8 - x)\), мы должны взять ее производную и приравнять ее к нулю.

Давайте найдем производную функции \(y\) по \(x\):
\[\frac{d}{dx} y = \frac{d}{dx} \ln(2x - 1) + 2\frac{d}{dx} \ln(8 - x)\]

Применяем правила дифференцирования для функций \(\ln\):
\[\frac{d}{dx} y = \frac{1}{2x - 1} \cdot 2 + 2\cdot \frac{1}{8 - x} \cdot (-1)\]

Упрощаем выражение:
\[\frac{d}{dx} y = \frac{2}{2x - 1} - \frac{2}{8 - x}\]

Для нахождения экстремумов, мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
\[\frac{2}{2x - 1} - \frac{2}{8 - x} = 0\]

Перемножаем обе части уравнения на \((2x - 1)(8 - x)\), чтобы избавиться от знаменателей:
\[2(8 - x) - 2(2x - 1) = 0\]

Раскрываем скобки и упрощаем:
\[16 - 2x - 4x + 2 = 0\]
\[18 - 6x = 0\]

Переносим слагаемые:
\[6x = 18\]

Решаем уравнение:
\[x = 3\]

Теперь у нас есть потенциальная точка экстремума: \(x = 3\). Чтобы узнать, является ли она максимумом или минимумом, мы должны проанализировать знаки производной в окрестности этой точки.

Чтобы найти знаки производной, мы можем выбрать любую точку слева и справа от \(x = 3\) и подставить ее в производную, затем сравнить знаки.

Давайте выберем \(x = 2\), которое меньше 3, и подставим его в производную:
\[\frac{2}{2\cdot 2 - 1} - \frac{2}{8 - 2} = -\frac{2}{3} - \frac{2}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\]

Теперь выберем \(x = 4\), которое больше 3, и подставим его в производную:
\[\frac{2}{2\cdot 4 - 1} - \frac{2}{8 - 4} = \frac{2}{7} - \frac{2}{4} = \frac{8}{28} - \frac{14}{28} = -\frac{6}{28} = -\frac{3}{14}\]

Мы видим, что производная отрицательна в точке \(x = 2\) и положительна в точке \(x = 4\). Это говорит нам о том, что функция имеет локальный минимум на отрезке \(\left(\frac{1}{2}, 8\right)\) в точке \(x = 3\).

Теперь мы можем подставить \(x = 3\) в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение \(y\):
\[y = \ln(2\cdot 3 - 1) + 2\ln(8 - 3) = \ln(5) + 2\ln(5) = \ln(5) + \ln(25) = \ln(125)\]

Таким образом, максимальное и минимальное значения функции \(y = \ln(2x - 1) + 2\ln(8 - x)\) на данном отрезке равны \(\ln(125)\).