Каковы интервалы, на которых функция y=6x-x² является постоянной по знаку?

Для решения этой задачи, нам следует найти значения x, при которых функция \(y = 6x - x^2\) постоянно положительна или постоянно отрицательна.

Для начала, найдем точки, где функция \(y = 6x - x^2\) равна нулю. Для этого приравняем \(y\) к нулю и решим уравнение:

\[
6x - x^2 = 0
\]

Приведем это к квадратному уравнению и решим его:

\[
x(6 - x) = 0
\]

Видим два решения: \(x = 0\) и \(x = 6\).

Теперь, чтобы определить интервалы, на которых функция \(y = 6x - x^2\) постоянно положительна или постоянно отрицательна, нужно изучить знак функции в каждом из трех интервалов: \((- \infty, 0)\), \((0, 6)\), и \((6, + \infty)\).

Возьмем значение \(x\) внутри каждого интервала, например, \(-1\), \(1\), и \(7\). Подставим эти значения в функцию и определим знак:

1. При \(x = -1\):
\(y = 6(-1) - (-1)^2 = -6 - 1 = -7\)

Таким образом, в интервале \((- \infty, 0)\) функция \(y = 6x - x^2\) отрицательна.

2. При \(x = 1\):
\(y = 6(1) - (1)^2 = 6 - 1 = 5\)

Таким образом, в интервале \((0, 6)\) функция \(y = 6x - x^2\) положительна.

3. При \(x = 7\):
\(y = 6(7) - (7)^2 = 42 - 49 = -7\)

Таким образом, в интервале \((6, + \infty)\) функция \(y = 6x - x^2\) отрицательна.

Таким образом, можно сделать вывод, что функция \(y = 6x - x^2\) является постоянно положительной на интервале \((0, 6)\), и постоянно отрицательной на интервалах \((- \infty, 0)\) и \((6, + \infty)\).