Каковы должны быть стороны основания лотка для перевозки хлеба с периметром 260 см, чтобы обеспечить наименьшую

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать некоторые математические понятия. Дано, что периметр основания лотка равен 260 см. Для нахождения площади основания, которая будет наименьшей, мы должны знать, как связаны стороны основания и периметр.

Предположим, что стороны основания лотка обозначены через \(x\) и \(y\). Тогда периметр основания можно записать в виде уравнения:

\[2x + 2y = 260\]

Для нахождения площади основания, которая будет минимальной, мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Для этого нам нужно найти производные площади по \(x\) и \(y\) и приравнять их к нулю:

\[\frac{{dS}}{{dx}} = 0 \quad \text{и} \quad \frac{{dS}}{{dy}} = 0\]

где \(S\) - площадь основания.

Так как площадь основания лотка равна \(S = xy\), продифференцируем её по \(x\) и по \(y\):

\[\frac{{dS}}{{dx}} = y \quad \text{и} \quad \frac{{dS}}{{dy}} = x\]

Приравняем эти выражения к нулю:

\[y = 0 \quad \text{и} \quad x = 0\]

Ответ очевидно не может быть нулевыми значениями. Это означает, что площадь может быть минимальной только в тех точках, где производные равны нулю. Таких точек у нас только одна, так как у нас только одно уравнение, которое связывает две переменные \(x\) и \(y\):

\[2x + 2y = 260\]

Решим это уравнение относительно переменной \(y\):

\[2y = 260 - 2x\]
\[y = 130 - x\]

Теперь подставим это значение \(y\) в выражение для площади \(S = xy\):

\[S = x(130 - x)\]

раскроем скобки и приведем к виду квадратного трехчлена:

\[S = 130x - x^2\]

Теперь, чтобы найти минимум площади, продифференцируем это выражение по \(x\) и приравняем его к нулю:

\[\frac{{dS}}{{dx}} = 130 - 2x = 0\]

Решим это уравнение относительно переменной \(x\):

\[2x = 130\]
\[x = 65\]

Теперь, чтобы найти значение \(y\), подставим найденное значение \(x\) в уравнение \(y = 130 - x\):

\[y = 130 - 65 = 65\]

Итак, получили, что для получения наименьшей площади основания лотка при заданном периметре 260 см, стороны основания должны быть равны 65 см и 65 см. Подставим значения сторон обратно в площадь основания \(S = xy\) и рассчитаем ее:

\[S = 65 \times 65 = 4225 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь основания лотка будет равна 4225 \, \text{см}^2.