1) Каков фокальный радиус точки М на параболе y^2=20x, если абсцисса этой точки равна 7? 2) Какую кривую описывает

Задача 1: Для решения данной задачи нам понадобится уравнение параболы \(y^2 = 20x\) и информация о том, что абсцисса точки М равна 7.

Используя данное уравнение параболы, мы можем выразить \(y\) через \(x\):
\[y = \pm \sqrt{20x}\]

Учитывая, что абсцисса точки М равна 7, мы можем записать уравнение в таком виде:
\[y = \pm \sqrt{20 \cdot 7}\]

Рассчитаем значение под корнем:
\[y = \pm \sqrt{140}\]

Следовательно, координаты точки М на параболе будут следующими: \(M(7, \sqrt{140})\) и \(M(7, -\sqrt{140})\).

Фокальный радиус точки М на параболе определяется как расстояние от фокуса параболы до данной точки. В данном случае фокус находится на оси \(x\) и его координата определяется как \(F(p, 0)\), где \(p\) является фокусным расстоянием.

Для нахождения фокусного радиуса, нам нужно знать значение \(p\). Оно определяется формулой \(p = \frac{a}{2}\), где \(a\) - это расстояние между фокусом и директрисой.

В данном случае у нас дано уравнение параболы \(y^2 = 20x\), которое находится вида \(y^2 = 4px\). Следовательно, \(a = 4p\).

Здесь \(a\) будет равно 20, так как это коэффициент при \(x\) в уравнении параболы.

Подставив значения в формулу для \(p\), получим:
\[20 = \frac{4p}{2}\]
\[20 = 2p\]
\[p = 10\]

Теперь мы можем найти фокусные радиусы для точек M(7, \(\sqrt{140}\)) и M(7, -\(\sqrt{140}\)).

Для M(7, \(\sqrt{140}\)):
\[r_1 = \sqrt{(7-10)^2 + (\sqrt{140} - 0)^2}\]
\[r_1 = \sqrt{(-3)^2 + \sqrt{140}^2}\]
\[r_1 = \sqrt{9 + 140}\]
\[r_1 = \sqrt{149}\]

Для M(7, -\(\sqrt{140}\)):
\[r_2 = \sqrt{(7-10)^2 + (-\sqrt{140} - 0)^2}\]
\[r_2 = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{140})^2}\]
\[r_2 = \sqrt{9 + 140}\]
\[r_2 = \sqrt{149}\]

Итак, фокальные радиусы для точек M(7, \(\sqrt{140}\)) и M(7, -\(\sqrt{140}\)) равны \(\sqrt{149}\).

Задача 2: Для решения данной задачи нам нужно анализировать уравнение \(2x^2 + 3y^2 + 2x - 1,5 = 0\).

Уравнение данной кривой можно записать в стандартной форме уравнения эллипса:
\[\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\]

где \((h, k)\) - это координаты центра эллипса, \(a\) - полуось по оси \(x\), \(b\) - полуось по оси \(y\).

Для начала, нам нужно привести уравнение к стандартной форме, исключив константу в правой части:

\[2x^2 + 3y^2 + 2x - 1,5 = 0\]
\[2x^2 + 2x + 3y^2 - 1,5 = 0\]

Теперь давайте завершим квадратное выражение в \(x\):

\[2(x^2 + x) + 3y^2 - 1,5 = 0\]
\[2(x^2 + x + \frac{1}{4}) + 3y^2 - 1,5 - 2 \cdot \frac{1}{4} = 0\]
\[2(x + \frac{1}{2})^2 + 3y^2 - \frac{5}{2} = 0\]

Теперь мы можем записать уравнение в стандартной форме:

\[\frac{(x + \frac{1}{2})^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]

Сравнивая коэффициенты, мы видим, что \(h = -\frac{1}{2}\), \(k = 0\), \(a^2 = \frac{5}{4}\) и \(b^2 = \frac{2}{3}\).

Поэтому центр эллипса находится в точке \((- \frac{1}{2}, 0)\), полуось по оси \(x\) равна \(a = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\), а полуось по оси \(y\) равна \(b = \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Чтобы найти фокусные точки, нам необходимо найти фокусное расстояние \(c\), которое можно найти с помощью формулы:
\[c = \sqrt{a^2 - b^2}\]

Подставим значения:
\[c = \sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - (\sqrt{\frac{2}{3}})^2}\]

Упростим:
\[c = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{2}{3}}\]
\[c = \sqrt{\frac{15}{12} - \frac{8}{12}}\]
\[c = \sqrt{\frac{7}{12}}\]

Таким образом, кривая, описываемая уравнением \(2x^2 + 3y^2 + 2x - 1,5 = 0\), является эллипсом с центром в точке \((- \frac{1}{2}, 0)\), полуосями \(a = \frac{\sqrt{5}}{2}\) и \(b = \sqrt{\frac{2}{3}}\), а также фокусными точками в расстоянии \(c = \sqrt{\frac{7}{12}}\) от центра.