1. Найдите наименьшее из двух чисел, которые в сумме дают 22, а сумма их квадратов равна 250.
2. Найдите большее из двух чисел, если их разность равна 4, а разность их квадратов равна 104.
3. Найдите сумму квадратов двух чисел, если их среднее арифметическое равно 7, а разность их квадратов равна 56.
4. Найдите два числа, если их среднее арифметическое равно 6, и квадрат суммы этих чисел на 70 больше суммы их квадратов.
5. Найдите два последовательных натуральных числа, если сумма их квадратов больше их произведения на 157.
6. Найдите квадрат суммы двух чисел, если
2. Найдите большее из двух чисел, если их разность равна 4, а разность их квадратов равна 104.
3. Найдите сумму квадратов двух чисел, если их среднее арифметическое равно 7, а разность их квадратов равна 56.
4. Найдите два числа, если их среднее арифметическое равно 6, и квадрат суммы этих чисел на 70 больше суммы их квадратов.
5. Найдите два последовательных натуральных числа, если сумма их квадратов больше их произведения на 157.
6. Найдите квадрат суммы двух чисел, если
Загадочный_Убийца
1. Пусть x и y - два числа. Согласно условию задачи, у нас есть два уравнения:
\[
\begin{align*}
x + y &= 22 \quad \text{(1)} \\
x^2 + y^2 &= 250 \quad \text{(2)}
\end{align*}
\]
Мы можем решить эту систему уравнений, используя методы подстановки или метод сложения/вычитания. Я предпочитаю использовать метод сложения/вычитания.
Умножим уравнение (1) на 2 и вычтем его из уравнения (2):
\[
\begin{align*}
2x + 2y &= 44 \\
x^2 - 2x + y^2 - 2y &= 250 - 44 \\
x^2 - 2x + y^2 - 2y &= 206 \quad \text{(3)}
\end{align*}
\]
Теперь вычтем уравнение (3) из уравнения (2):
\[
\begin{align*}
x^2 + y^2 - (x^2 - 2x + y^2 - 2y) &= 250 - 206 \\
x^2 + y^2 - x^2 + 2x - y^2 + 2y &= 44 \\
2x - 2y &= 44 \quad \text{(4)}
\end{align*}
\]
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
\[
\begin{align*}
2x - 2y &= 44 \quad \text{(4)} \\
x + y &= 22 \quad \text{(1)}
\end{align*}
\]
Можем решить эту систему, сложив уравнение (1) с вдвое увеличенным уравнением (4):
\[
\begin{align*}
x + y + 2x - 2y &= 22 + 2(44) \\
3x &= 110 \\
x &= \frac{110}{3} \approx 36.67
\end{align*}
\]
Теперь найдем значение y, подставив x в уравнение (1):
\[
\begin{align*}
\frac{110}{3} + y &= 22 \\
y &= 22 - \frac{110}{3} \\
y &= \frac{66}{3} - \frac{110}{3} \\
y &= -\frac{44}{3} \approx -14.67
\end{align*}
\]
Мы получили два значения x и y, но в задаче сказано найти наименьшее из двух чисел. Таким образом, наименьшим числом будет -14.67.
Ответ: наименьшее из двух чисел, которые в сумме дают 22, а сумма их квадратов равна 250, равно -14.67.
2. Пусть a и b - два числа. В условии задачи у нас есть два уравнения:
\[
\begin{align*}
a - b &= 4 \quad \text{(5)} \\
a^2 - b^2 &= 104 \quad \text{(6)}
\end{align*}
\]
Мы можем решить эту систему уравнений, используя методы подстановки или метод сложения/вычитания. В данном случае, повторно используем метод сложения/вычитания.
Разложим разность квадратов в уравнении (6):
\[
\begin{align*}
(a - b)(a + b) &= 104 \\
(a + b) &= \frac{104}{a - b} \quad \text{(7)}
\end{align*}
\]
Умножим уравнение (5) на a + b и используем значение a + b из уравнения (7):
\[
\begin{align*}
(a - b)(a + b) &= 4(a + b) \\
104 &= 4(a + b) \\
a + b &= \frac{104}{4} \\
a + b &= 26 \quad \text{(8)}
\end{align*}
\]
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
\[
\begin{align*}
a - b &= 4 \quad \text{(5)} \\
a + b &= 26 \quad \text{(8)}
\end{align*}
\]
Можем решить эту систему, сложив уравнения (5) и (8):
\[
\begin{align*}
2a &= 30 \\
a &= 15
\end{align*}
\]
Теперь найдем значение b, подставив a в уравнение (5):
\[
\begin{align*}
15 - b &= 4 \\
b &= 15 - 4 \\
b &= 11
\end{align*}
\]
Мы получили два значения a и b, но в задаче сказано найти большее из двух чисел. Таким образом, большим числом будет 15.
Ответ: большее из двух чисел, если их разность равна 4, а разность их квадратов равна 104, равно 15.
3. Пусть p и q - два числа. В условии задачи у нас есть два уравнения:
\[
\begin{align*}
\frac{p + q}{2} &= 7 \quad \text{(9)} \\
p^2 - q^2 &= 56 \quad \text{(10)}
\end{align*}
\]
Чтобы решить эту систему уравнений, воспользуемся методом замены. Решим уравнение (9) относительно p и подставим в уравнение (10):
\[
\begin{align*}
p + q &= 14 \quad \text{(11)} \quad \text{(из уравнения 9)} \\
(14 - q) - q &= 56 \\
14 - 2q &= 56 \\
-2q &= 42 \\
q &= -21
\end{align*}
\]
Теперь найдем значение p, подставив q в уравнение (11):
\[
\begin{align*}
p + (-21) &= 14 \\
p &= 14 + 21 \\
p &= 35
\end{align*}
\]
Ответ: сумма квадратов двух чисел, если их среднее арифметическое равно 7, а разность их квадратов равна 56, равна 35^2 + (-21)^2 = 1225 + 441 = 1666.
4. Пусть m и n - два числа. В условии задачи у нас есть два уравнения:
\[
\begin{align*}
\frac{m + n}{2} &= 6 \quad \text{(12)} \\
(m + n)^2 + 70 &= m^2 + 2mn + n^2 \quad \text{(13)}
\end{align*}
\]
Мы можем решить уравнение (13) относительно mn и заменить его в уравнение (12):
\[
\begin{align*}
(m + n)^2 + 70 &= m^2 + 2mn + n^2 \\
m^2 + 2mn + n^2 + 70 &= m^2 + 2mn + n^2 \\
70 &= 2mn \\
mn &= 35 \quad \text{(14)}
\end{align*}
\]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[
\begin{align*}
\frac{m + n}{2} &= 6 \quad \text{(12)} \\
mn &= 35 \quad \text{(14)}
\end{align*}
\]
Можем решить это уравнение, умножив уравнение (12) на 2 и вычесть из него уравнение (14):
\[
\begin{align*}
2(m + n) - (mn) &= 2(6) - 35 \\
2m + 2n - mn &= 12 - 35 \\
2m + 2n - mn &= -23 \\
-m(2 - n) &= -23 \\
m &= \frac{-23}{2 - n}
\end{align*}
\]
Подставим значение m в уравнение (14):
\[
\begin{align*}
\frac{-23}{2 - n}n &= 35 \\
-23n &= 35(2 - n) \\
-23n &= 70 - 35n \\
12n &= 70 \\
n &= \frac{70}{12} = 5.83
\end{align*}
\]
Теперь найдем значение m, подставив n в уравнение (12):
\[
\begin{align*}
m + 5.83 &= 12 \\
m &= 12 - 5.83 \\
m &= 6.17
\end{align*}
\]
Ответ: два числа, если их среднее арифметическое равно 6, и квадрат суммы этих чисел на 70 больше суммы их квадратов, равны 6.17 и 5.83.
5. Пусть x и y - два последовательных натуральных числа. В условии задачи у нас есть одно уравнение:
\[
x^2 + y^2 > xy + 157
\]
Перепишем его в следующем виде:
\[
x^2 - xy + y^2 - 157 > 0
\]
Это квадратное неравенство не имеет простого аналитического решения, поэтому воспользуемся графическим методом или численным подходом.
Попробуем перебрать некоторые значения x и y, чтобы найти ответ.
Пусть x = 1, тогда:
\[
1^2 + y^2 > y + 157
\]
\[
1 + y^2 > y + 157
\]
Таким образом, y может быть любым натуральным числом, большим 157.
Попробуем другое значение x, например, x = 2:
\[
2^2 + y^2 > 2y + 157
\]
\[
4 + y^2 > 2y + 157
\]
\[
y^2 - 2y + 153 > 0
\]
Это уравнение не имеет натуральных корней.
Таким образом, сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел будет больше их произведения на 157, где первое число может быть любым натуральным числом, большим 157.
6. Пусть a и b - два числа. В условии задачи у нас есть одно уравнение:
\[
(a + b)^2 = ?
\]
Для решения этого уравнения, нам нужно знать значения a и b. Мы не можем определить квадрат суммы двух чисел, не зная ни одно из них.
Пожалуйста, уточните значения a и b для решения этой задачи.
\[
\begin{align*}
x + y &= 22 \quad \text{(1)} \\
x^2 + y^2 &= 250 \quad \text{(2)}
\end{align*}
\]
Мы можем решить эту систему уравнений, используя методы подстановки или метод сложения/вычитания. Я предпочитаю использовать метод сложения/вычитания.
Умножим уравнение (1) на 2 и вычтем его из уравнения (2):
\[
\begin{align*}
2x + 2y &= 44 \\
x^2 - 2x + y^2 - 2y &= 250 - 44 \\
x^2 - 2x + y^2 - 2y &= 206 \quad \text{(3)}
\end{align*}
\]
Теперь вычтем уравнение (3) из уравнения (2):
\[
\begin{align*}
x^2 + y^2 - (x^2 - 2x + y^2 - 2y) &= 250 - 206 \\
x^2 + y^2 - x^2 + 2x - y^2 + 2y &= 44 \\
2x - 2y &= 44 \quad \text{(4)}
\end{align*}
\]
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
\[
\begin{align*}
2x - 2y &= 44 \quad \text{(4)} \\
x + y &= 22 \quad \text{(1)}
\end{align*}
\]
Можем решить эту систему, сложив уравнение (1) с вдвое увеличенным уравнением (4):
\[
\begin{align*}
x + y + 2x - 2y &= 22 + 2(44) \\
3x &= 110 \\
x &= \frac{110}{3} \approx 36.67
\end{align*}
\]
Теперь найдем значение y, подставив x в уравнение (1):
\[
\begin{align*}
\frac{110}{3} + y &= 22 \\
y &= 22 - \frac{110}{3} \\
y &= \frac{66}{3} - \frac{110}{3} \\
y &= -\frac{44}{3} \approx -14.67
\end{align*}
\]
Мы получили два значения x и y, но в задаче сказано найти наименьшее из двух чисел. Таким образом, наименьшим числом будет -14.67.
Ответ: наименьшее из двух чисел, которые в сумме дают 22, а сумма их квадратов равна 250, равно -14.67.
2. Пусть a и b - два числа. В условии задачи у нас есть два уравнения:
\[
\begin{align*}
a - b &= 4 \quad \text{(5)} \\
a^2 - b^2 &= 104 \quad \text{(6)}
\end{align*}
\]
Мы можем решить эту систему уравнений, используя методы подстановки или метод сложения/вычитания. В данном случае, повторно используем метод сложения/вычитания.
Разложим разность квадратов в уравнении (6):
\[
\begin{align*}
(a - b)(a + b) &= 104 \\
(a + b) &= \frac{104}{a - b} \quad \text{(7)}
\end{align*}
\]
Умножим уравнение (5) на a + b и используем значение a + b из уравнения (7):
\[
\begin{align*}
(a - b)(a + b) &= 4(a + b) \\
104 &= 4(a + b) \\
a + b &= \frac{104}{4} \\
a + b &= 26 \quad \text{(8)}
\end{align*}
\]
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
\[
\begin{align*}
a - b &= 4 \quad \text{(5)} \\
a + b &= 26 \quad \text{(8)}
\end{align*}
\]
Можем решить эту систему, сложив уравнения (5) и (8):
\[
\begin{align*}
2a &= 30 \\
a &= 15
\end{align*}
\]
Теперь найдем значение b, подставив a в уравнение (5):
\[
\begin{align*}
15 - b &= 4 \\
b &= 15 - 4 \\
b &= 11
\end{align*}
\]
Мы получили два значения a и b, но в задаче сказано найти большее из двух чисел. Таким образом, большим числом будет 15.
Ответ: большее из двух чисел, если их разность равна 4, а разность их квадратов равна 104, равно 15.
3. Пусть p и q - два числа. В условии задачи у нас есть два уравнения:
\[
\begin{align*}
\frac{p + q}{2} &= 7 \quad \text{(9)} \\
p^2 - q^2 &= 56 \quad \text{(10)}
\end{align*}
\]
Чтобы решить эту систему уравнений, воспользуемся методом замены. Решим уравнение (9) относительно p и подставим в уравнение (10):
\[
\begin{align*}
p + q &= 14 \quad \text{(11)} \quad \text{(из уравнения 9)} \\
(14 - q) - q &= 56 \\
14 - 2q &= 56 \\
-2q &= 42 \\
q &= -21
\end{align*}
\]
Теперь найдем значение p, подставив q в уравнение (11):
\[
\begin{align*}
p + (-21) &= 14 \\
p &= 14 + 21 \\
p &= 35
\end{align*}
\]
Ответ: сумма квадратов двух чисел, если их среднее арифметическое равно 7, а разность их квадратов равна 56, равна 35^2 + (-21)^2 = 1225 + 441 = 1666.
4. Пусть m и n - два числа. В условии задачи у нас есть два уравнения:
\[
\begin{align*}
\frac{m + n}{2} &= 6 \quad \text{(12)} \\
(m + n)^2 + 70 &= m^2 + 2mn + n^2 \quad \text{(13)}
\end{align*}
\]
Мы можем решить уравнение (13) относительно mn и заменить его в уравнение (12):
\[
\begin{align*}
(m + n)^2 + 70 &= m^2 + 2mn + n^2 \\
m^2 + 2mn + n^2 + 70 &= m^2 + 2mn + n^2 \\
70 &= 2mn \\
mn &= 35 \quad \text{(14)}
\end{align*}
\]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[
\begin{align*}
\frac{m + n}{2} &= 6 \quad \text{(12)} \\
mn &= 35 \quad \text{(14)}
\end{align*}
\]
Можем решить это уравнение, умножив уравнение (12) на 2 и вычесть из него уравнение (14):
\[
\begin{align*}
2(m + n) - (mn) &= 2(6) - 35 \\
2m + 2n - mn &= 12 - 35 \\
2m + 2n - mn &= -23 \\
-m(2 - n) &= -23 \\
m &= \frac{-23}{2 - n}
\end{align*}
\]
Подставим значение m в уравнение (14):
\[
\begin{align*}
\frac{-23}{2 - n}n &= 35 \\
-23n &= 35(2 - n) \\
-23n &= 70 - 35n \\
12n &= 70 \\
n &= \frac{70}{12} = 5.83
\end{align*}
\]
Теперь найдем значение m, подставив n в уравнение (12):
\[
\begin{align*}
m + 5.83 &= 12 \\
m &= 12 - 5.83 \\
m &= 6.17
\end{align*}
\]
Ответ: два числа, если их среднее арифметическое равно 6, и квадрат суммы этих чисел на 70 больше суммы их квадратов, равны 6.17 и 5.83.
5. Пусть x и y - два последовательных натуральных числа. В условии задачи у нас есть одно уравнение:
\[
x^2 + y^2 > xy + 157
\]
Перепишем его в следующем виде:
\[
x^2 - xy + y^2 - 157 > 0
\]
Это квадратное неравенство не имеет простого аналитического решения, поэтому воспользуемся графическим методом или численным подходом.
Попробуем перебрать некоторые значения x и y, чтобы найти ответ.
Пусть x = 1, тогда:
\[
1^2 + y^2 > y + 157
\]
\[
1 + y^2 > y + 157
\]
Таким образом, y может быть любым натуральным числом, большим 157.
Попробуем другое значение x, например, x = 2:
\[
2^2 + y^2 > 2y + 157
\]
\[
4 + y^2 > 2y + 157
\]
\[
y^2 - 2y + 153 > 0
\]
Это уравнение не имеет натуральных корней.
Таким образом, сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел будет больше их произведения на 157, где первое число может быть любым натуральным числом, большим 157.
6. Пусть a и b - два числа. В условии задачи у нас есть одно уравнение:
\[
(a + b)^2 = ?
\]
Для решения этого уравнения, нам нужно знать значения a и b. Мы не можем определить квадрат суммы двух чисел, не зная ни одно из них.
Пожалуйста, уточните значения a и b для решения этой задачи.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
