Каковы длины неизвестных сторон треугольника, если большая сторона равна 5 см и в треугольник вписана окружность

Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться некоторыми свойствами треугольника, окружности и углов.

Пусть стороны треугольника обозначены как a, b и c, где c - наибольшая сторона. Пусть точка касания окружности со стороной a делит соответствующую дугу на участки, длины которых обозначим как \(2\alpha\), \(3\alpha\) и \(4\alpha\).

Так как окружность вписана в треугольник, она касается каждой из сторон треугольника. Следовательно, длины отрезков, проведенных от вершин треугольника до точек касания окружности со сторонами, равны радиусу окружности (обозначим его как r).

Теперь применим теорему тангенсов к треугольнику ABC:
\[
\frac{a}{2\alpha} = \tan(\alpha), \quad \frac{b}{3\alpha} = \tan(2\alpha), \quad \frac{c}{4\alpha} = \tan(3\alpha)
\]

Заметим, что \(\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}\) и \(\tan(3\alpha) = \frac{\sin(3\alpha)}{\cos(3\alpha)}\). Используя тригонометрические тождества для синуса и косинуса удвоенного и троекратного углов, получаем следующее:
\[
2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{b}{3a}, \quad 2\cos^2(\alpha) - 1 = \frac{c}{4a}, \quad 4\sin(\alpha)(1-\sin^2(\alpha)) = \frac{b}{3c}
\]

Ранее мы отметили, что длины отрезков, проведенных от вершин треугольника до точек касания окружности со сторонами, равны радиусу окружности r. Так как окружность вписана в треугольник, мы можем использовать формулу радиуса окружности, выраженную через площадь треугольника (S) и его полупериметр (p):
\[
r = \frac{S}{p}
\]

Радиус окружности также можно выразить через площадь треугольника и его стороны с помощью формулы Герона:
\[
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\]

Мы можем составить систему уравнений из полученных выше выражений и решить ее, чтобы найти значения сторон треугольника a, b и c.

Однако, для удобства, я предлагаю воспользоваться численным примером, чтобы наглядно проиллюстрировать решение.

Пусть \(\alpha = 30^\circ\) (для простоты вычислений). Тогда углы треугольника равны \(2\alpha = 60^\circ\), \(3\alpha = 90^\circ\), \(4\alpha = 120^\circ\).

Используя эти значения углов, мы можем записать уравнения:
\[
\begin{cases}
2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{b}{3a} \\
2\cos^2(\alpha) - 1 = \frac{c}{4a} \\
4\sin(\alpha)(1-\sin^2(\alpha)) = \frac{b}{3c}
\end{cases}
\]

Подставляя численные значения, получаем:
\[
\begin{cases}
2\sin(30^\circ)\cos(30^\circ) = \frac{b}{3a} \\
2\cos^2(30^\circ) - 1 = \frac{c}{4a} \\
4\sin(30^\circ)(1-\sin^2(30^\circ)) = \frac{b}{3c}
\end{cases}
\]

Вычисляя значения тригонометрических функций и решая систему, найдем значения сторон треугольника a, b и c.

Из первого уравнения получаем \(\frac{1}{2}\sqrt{3} = \frac{b}{3a}\), откуда \(b = \frac{3}{2}\sqrt{3}a\).
Из второго уравнения получаем \(\frac{3}{4} - 1 = \frac{c}{4a}\), откуда \(c = -\frac{1}{4}a\).
Из третьего уравнения получаем \(1/2\sqrt{3}(1-(1/2\sqrt{3})^2) = \frac{b}{3c}\), откуда \(b = 0\).

Подставив выражения для b и c во второе уравнение, получаем:
\(\frac{3}{4} - 1 = \frac{-1}{4a}\), откуда \(a = \frac{1}{4}\).

Таким образом, получили, что a = 1/4, b = 0 и c = -1/4.

Однако, отрицательное значение для стороны c не имеет смысла в данной задаче, поэтому отбрасываем это решение. Поэтому треугольник не может существовать с данными условиями.

В заключение, отметим, что решение данной задачи было проведено на численном примере и не дает общего результата в общем виде. В общем случае, для решения задачи потребуется аналитический подход и решение системы уравнений. При необходимости можно обратиться за дополнительной помощью к преподавателю или школьному материалу.