Каковы длины неизвестных сторон треугольника, если большая сторона равна 5 см и в треугольник вписана окружность

Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться некоторыми свойствами треугольника, окружности и углов.

Пусть стороны треугольника обозначены как a, b и c, где c - наибольшая сторона. Пусть точка касания окружности со стороной a делит соответствующую дугу на участки, длины которых обозначим как $2\alpha$, $3\alpha$ и $4\alpha$.

Так как окружность вписана в треугольник, она касается каждой из сторон треугольника. Следовательно, длины отрезков, проведенных от вершин треугольника до точек касания окружности со сторонами, равны радиусу окружности (обозначим его как r).

Теперь применим теорему тангенсов к треугольнику ABC:
$$\frac{a}{2\alpha }=\tan (\alpha ),\frac{b}{3\alpha }=\tan (2\alpha ),\frac{c}{4\alpha }=\tan (3\alpha )$$

Заметим, что $\tan (2\alpha )=\frac{\sin (2\alpha )}{\cos (2\alpha )}$ и $\tan (3\alpha )=\frac{\sin (3\alpha )}{\cos (3\alpha )}$. Используя тригонометрические тождества для синуса и косинуса удвоенного и троекратного углов, получаем следующее:
$$2\sin (\alpha )\cos (\alpha )=\frac{b}{3a},2{\cos }^2(\alpha )-1=\frac{c}{4a},4\sin (\alpha )(1-{\sin }^2(\alpha ))=\frac{b}{3c}$$

Ранее мы отметили, что длины отрезков, проведенных от вершин треугольника до точек касания окружности со сторонами, равны радиусу окружности r. Так как окружность вписана в треугольник, мы можем использовать формулу радиуса окружности, выраженную через площадь треугольника (S) и его полупериметр (p):
$$r=\frac{S}{p}$$

Радиус окружности также можно выразить через площадь треугольника и его стороны с помощью формулы Герона:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Мы можем составить систему уравнений из полученных выше выражений и решить ее, чтобы найти значения сторон треугольника a, b и c.

Однако, для удобства, я предлагаю воспользоваться численным примером, чтобы наглядно проиллюстрировать решение.

Пусть $\alpha ={30}^{\circ }$ (для простоты вычислений). Тогда углы треугольника равны $2\alpha ={60}^{\circ }$, $3\alpha ={90}^{\circ }$, $4\alpha ={120}^{\circ }$.

Используя эти значения углов, мы можем записать уравнения:
$$\{\begin{array}{l}2\sin (\alpha )\cos (\alpha )=\frac{b}{3a}\\ 2{\cos }^2(\alpha )-1=\frac{c}{4a}\\ 4\sin (\alpha )(1-{\sin }^2(\alpha ))=\frac{b}{3c}\end{array}$$

Подставляя численные значения, получаем:
$$\{\begin{array}{l}2\sin ({30}^{\circ })\cos ({30}^{\circ })=\frac{b}{3a}\\ 2{\cos }^2({30}^{\circ })-1=\frac{c}{4a}\\ 4\sin ({30}^{\circ })(1-{\sin }^2({30}^{\circ }))=\frac{b}{3c}\end{array}$$

Вычисляя значения тригонометрических функций и решая систему, найдем значения сторон треугольника a, b и c.

Из первого уравнения получаем $\frac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{b}{3a}$, откуда $b=\frac{3}{2}\sqrt{3}a$.
Из второго уравнения получаем $\frac{3}{4}-1=\frac{c}{4a}$, откуда $c=-\frac{1}{4}a$.
Из третьего уравнения получаем $1/2\sqrt{3}(1-(1/2\sqrt{3}{)}^2)=\frac{b}{3c}$, откуда $b=0$.

Подставив выражения для b и c во второе уравнение, получаем:
$\frac{3}{4}-1=\frac{-1}{4a}$, откуда $a=\frac{1}{4}$.

Таким образом, получили, что a = 1/4, b = 0 и c = -1/4.

Однако, отрицательное значение для стороны c не имеет смысла в данной задаче, поэтому отбрасываем это решение. Поэтому треугольник не может существовать с данными условиями.

В заключение, отметим, что решение данной задачи было проведено на численном примере и не дает общего результата в общем виде. В общем случае, для решения задачи потребуется аналитический подход и решение системы уравнений. При необходимости можно обратиться за дополнительной помощью к преподавателю или школьному материалу.