1. В прямоугольном треугольнике, у которого один из углов равен 45°, а длина гипотенузы составляет с, определите длину

1. Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

В данной задаче у нас уже известен один из углов прямоугольного треугольника, равный 45°, и длина гипотенузы, обозначенная с.

Первым шагом найдем длину одного из катетов. Так как у нас прямоугольный треугольник и гипотенуза делит его на два прямоугольных треугольника, то каждый из этих треугольников будет также прямоугольным. Таким образом, в одном из этих треугольников у нас будет равенство между гипотенузой и катетом, которое можно выразить как \(h = \frac{c}{\sqrt{2}}\), где h - длина одного из катетов.

Вторым шагом найдем длину другого катета. Так как в прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°, а один из углов равен 90°, то сумма остальных двух углов составляет 90°. Так как один из острых углов равен 45°, то второй острый угол будет равен 45°. Таким образом, у нас получается равнобедренный прямоугольный треугольник, а значит, длина второго катета будет равна длине первого катета.

Таким образом, длина высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе, будет равна \(h = \frac{c}{\sqrt{2}}\).

2. В равнобедренном треугольнике с углом при основании 45° основание больше высоты на 9 см. Пусть длина основания равна а, а длина высоты равна h.

Так как треугольник равнобедренный, то его основание разделяет его на два равных прямоугольных треугольника. Таким образом, длина одного из катетов будет равна \(h\), а длина гипотенузы будет равна \(a + 9\) (так как основание больше высоты на 9 см).

Аналогично воспользуемся теоремой Пифагора: \(h^2 + h^2 = (a+9)^2\).

Раскроем скобки: \(2h^2 = a^2 + 18a + 81\).

Учитывая, что угол при основании равен 45°, то \(h = a\).

Подставим это в уравнение: \(2a^2 = a^2 + 18a + 81\).

Решим полученное квадратное уравнение: \(a^2 - 18a - 81 = 0\).

Найдем дискриминант: \(D = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-81) = 900\).

Так как уравнение имеет дискриминант больше нуля, то у нас есть два действительных корня.

Найдем корни уравнения: \(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Подставим значения: \(a_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{18 \pm 30}{2}\).

Таким образом, получаем два возможных значения для длины основания и высоты: \(a_1 = 6\) и \(h_1 = 6\), \(a_2 = -24\) и \(h_1 = -24\).

Мы получили два набора значений, но так как длина не может быть отрицательной, то правильным ответом будет: длина основания равна 6 см, а длина высоты также равна 6 см.

3. В прямоугольном треугольнике один из острых углов в два раза больше другого, а разность наибольшей и наименьшей сторон равна 49 см. Пусть наименьшая сторона треугольника равна а, а наибольшая сторона равна b.

Так как у нас прямоугольный треугольник, то один из острых углов будет равен 45°, а следовательно, другой острый угол будет равен 90° - 45° = 45°.

Угол 45° в два раза больше другого острого угла, значит, другой острый угол будет равен 45°/2 = 22.5°.

Теперь, воспользуемся синусом и косинусом угла 22.5° для нахождения отношений между сторонами треугольника.

Поскольку угол 22.5° является гипотенузой прямоугольного треугольника, то синус угла 22.5° можно выразить как \(\sin(22.5^\circ) = \frac{a}{b}\).

Раскроем синус угла 22.5° по формуле половинного угла: \(\sin(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 - \cos(45^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}\).

Таким образом, у нас получается уравнение \(\frac{a}{b} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}\).

Однако, данная информация недостаточна для нахождения конкретных значений сторон треугольника. В задаче не указан конкретный размер гипотенузы, что не позволяет нам определить отношение сторон треугольника.

4. В треугольнике углы имеют соотношение 1:2:3. Пусть наибольший угол равен 3x, а два других угла равны 2x и x соответственно. Сумма углов треугольника равна 180°.

Таким образом, у нас получается уравнение: 3x + 2x + x = 180.

Суммируем слагаемые: 6x = 180.

Решаем уравнение: x = \(\frac{180}{6}\) = 30.

Теперь можем найти значения трех углов треугольника: угол 3x = 3 * 30 = 90°, угол 2x = 2 * 30 = 60°, и угол x = 30°.

Таким образом, углы треугольника равны 90°, 60° и 30°.

Сумма большей и меньшей сторон треугольника: для работы с этой задачей, нам необходимо знать конкретные значения сторон треугольника. В задаче не указаны эти значения, поэтому мы не можем конкретно определить сумму этих сторон.

Если у вас есть конкретные значения сторон треугольника, пожалуйста, укажите их, чтобы мы могли выполнить задачу.