Каково расстояние между точками, где график функции y=2x^2/x^2+4 пересекается с прямой?

Чтобы найти расстояние между точками пересечения графика функции \(y = \frac{2x^2}{x^2 + 4}\) и заданной прямой, нам сначала нужно найти координаты этих точек пересечения.

Для этого, давайте решим систему уравнений. Пусть \(y\) обозначает значение функции \(y = \frac{2x^2}{x^2 + 4}\), а \(y_1\) обозначает значение функции прямой:

\[\frac{2x^2}{x^2 + 4} = y_1\]

В нашем случае \(y_1\) - это уравнение прямой, поэтому подставим его значение.

Теперь давайте решим это уравнение относительно \(x\).

\[\frac{2x^2}{x^2 + 4} = y_1\]

Умножим обе части уравнения на \(x^2 + 4\), чтобы избавиться от дроби в числителе:

\[2x^2 = y_1(x^2 + 4)\]

Раскроем скобки:

\[2x^2 = y_1x^2 + 4y_1\]

Теперь перенесём все члены в одну часть уравнения:

\[x^2(2 - y_1) = 4y_1\]

Получили квадратное уравнение. Чтобы найти значения \(x\), найдём его корни.

\[x^2 = \frac{4y_1}{2 - y_1}\]

\[x = \pm \sqrt{\frac{4y_1}{2 - y_1}}\]

Таким образом, уравнение имеет два решения \(x_1 = \sqrt{\frac{4y_1}{2 - y_1}}\) и \(x_2 = -\sqrt{\frac{4y_1}{2 - y_1}}\).

Теперь нам нужно найти соответствующие значения \(y\) для каждого значения \(x\). Подставляем найденные \(x\) обратно в уравнение функции \(y = \frac{2x^2}{x^2 + 4}\):

\[y_1 = \frac{2\left(\sqrt{\frac{4y_1}{2 - y_1}}\right)^2}{\left(\sqrt{\frac{4y_1}{2 - y_1}}\right)^2 + 4}\]

\[y_2 = \frac{2\left(-\sqrt{\frac{4y_1}{2 - y_1}}\right)^2}{\left(-\sqrt{\frac{4y_1}{2 - y_1}}\right)^2 + 4}\]

Выполняем вычисления:

\[y_1 = \frac{8y_1}{4 - 2y_1 + 4}\]

\[y_2 = \frac{8y_1}{4 - 2y_1 + 4}\]

Сокращаем:

\[y_1 (8 - 4 + 8) = 8y_1\]

\[y_2 (8 - 4 + 8) = 8y_1\]

\[12y_1 = 8y_1\]

\[12y_2 = 8y_1\]

Получается, что у нас значения \(y_1\) и \(y_2\) равны друг другу. Обозначим это значение как \(y\).

Теперь, чтобы найти расстояние между точками пересечения графика функции и прямой, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

В нашем случае \(x_1 = \sqrt{\frac{4y}{2 - y}}\), \(x_2 = -\sqrt{\frac{4y}{2 - y}}\), \(y_1 = y\), \(y_2 = y\). Подставим значения:

\[d = \sqrt{\left(-\sqrt{\frac{4y}{2 - y}} - \sqrt{\frac{4y}{2 - y}}\right)^2 + (y - y)^2}\]

\[d = \sqrt{4\left(\frac{4y}{2 - y}\right) + 0}\]

\[d = \sqrt{\frac{16y}{2 - y}}\]

Таким образом, расстояние между точками пересечения графика функции \(y = \frac{2x^2}{x^2 + 4}\) и прямой равно \(\sqrt{\frac{16y}{2 - y}}\).