Каково расстояние между прямой AA1 и плоскостью BCC1 в единичном кубе ABCDA1B1C1D1 (рис. 13.7)? Каково расстояние между

Чтобы найти расстояние между прямой АА1 и плоскостью ВСС1 в единичном кубе ABCDA1B1C1D1, мы можем использовать следующий алгоритм:

Шаг 1: Найдите уравнения прямой АА1 и плоскости ВСС1.

Прямая АА1 проходит через две точки A(1,0,0) и A1(1,1,1). Чтобы найти уравнение прямой, мы можем использовать следующие шаги:

а) Найдите направляющий вектор прямой, вычтя координаты начальной точки из координат конечной точки:
\(\vec{v} = (1,1,1) - (1,0,0) = (0,1,1)\)

б) Найдите уравнение прямой, используя направляющий вектор и координаты начальной точки:
\((x,y,z) = (1,0,0) + t(0,1,1)\), где \(t\) - параметр.

Таким образом, уравнение прямой АА1 имеет вид:
\(x = 1\)
\(y = t\)
\(z = t\)

Плоскость ВСС1 проходит через три точки B(0,0,1), C(0,1,1) и C1(0,1,0). Чтобы найти уравнение плоскости, мы можем использовать следующие шаги:

а) Найдите направляющие векторы плоскости, вычитая координаты одной точки из координат двух других точек:
\(\vec{v_1} = (0,1,1) - (0,0,1) = (0,1,0)\)
\(\vec{v_2} = (0,1,0) - (0,1,1) = (0,0,-1)\)

б) Найдите нормальный вектор плоскости, вычислив их векторное произведение:
\(\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (0,1,0) \times (0,0,-1) = (-1,0,0)\)

в) Найдите уравнение плоскости, используя координаты одной точки и нормальный вектор:
\(-x = 0\)

Таким образом, уравнение плоскости ВСС1 имеет вид:
\(-x = 0\)

Шаг 2: Найдите расстояние между прямой АА1 и плоскостью ВСС1.

Расстояние между прямой и плоскостью можно найти как расстояние между параллельными плоскостями, проходящими через точки прямой и плоскости. Используя формулу для расстояния между двумя параллельными плоскостями, мы можем вычислить это расстояние.

Уравнение плоскости, проходящей через прямую АА1, имеет вид:
\(x = 1\)
\(y = t\)
\(z = t\)

Мы знаем, что расстояние между двумя параллельными плоскостями с уравнениями \(ax + by + cz + d_1 = 0\) и \(ax + by + cz + d_2 = 0\) равно
\(d = \frac{{\left|d_1 - d_2\right|}}{{\sqrt{{a^2 + b^2 + c^2}}}}\)

В нашем случае у нас есть две плоскости:
Плоскость ВСС1: \(-x = 0\)
Плоскость АА1: \(x = 1\)

Подставляя значения в формулу, мы получаем:
\(d = \frac{{\left|0 - 1\right|}}{{\sqrt{{(-1)^2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1\)

Таким образом, расстояние между прямой АА1 и плоскостью ВСС1 в единичном кубе ABCDA1B1C1D1 равно 1.

Аналогично, чтобы найти расстояние между прямой AB1 и плоскостью CDD1, мы можем провести аналогичные шаги и получить ответ на этот вопрос. Пожалуйста, дайте мне знать, если вы хотите получить подробное решение для этой задачи.