Каково наименьшее значение функции y=1/3x√x-6x+70 на заданном отрезке?

Для решения данной задачи находим производную функции \(y\) и приравниваем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума. После нахождения точек экстремума, проверяем значения функции на границах заданного отрезка.

1. Найдем производную функции \(y\):
\[y" = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x\sqrt{x} - 6x + 70)\]

Для нахождения производной, используем правила дифференцирования:
\[y" = \frac{1}{3}(\sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}}) - 6\]

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[\frac{1}{3}(\sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}}) - 6 = 0\]

Упростим это уравнение:
\[\sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} - 18 = 0\]
\[\sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} = 18\]

3. Приведем уравнение к квадратному виду:
\[\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} \cdot 2\sqrt{x} = 18 \cdot 2\sqrt{x}\]
\[2x + x = 36\sqrt{x}\]
\[3x = 36\sqrt{x}\]

4. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[9x^2 = 1296x\]

5. Приведем уравнение к квадратному виду и решим его:
\[9x^2 - 1296x = 0\]
\[x(9x - 1296) = 0\]

Получаем два возможных значения \(x\):
\[x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1296}{9}\]

6. Проверим значения функции на границах заданного отрезка:
Первая граница: \(x = 0\)
\[y = \frac{1}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt{0} - 6 \cdot 0 + 70 = 70\]

Вторая граница: \(x = \frac{1296}{9} = 144\)
\[y = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot \sqrt{144} - 6 \cdot 144 + 70 = -370\]

Итак, наименьшее значение функции \(y\) на заданном отрезке достигается при \(x = 144\) и равно \(-370\).