Каково количество корней у уравнения |x+3|=a-x^2 в зависимости от значения параметра?

Для того чтобы определить количество корней у уравнения \(|x+3|=a-x^2\), нужно рассмотреть различные значения параметра \(a\).

1. Параметр \(a < -3\):
В этом случае, правая часть уравнения \(a-x^2\) будет всегда отрицательной, так как второе слагаемое, \(-x^2\), не может быть положительным. Следовательно, левая часть \(|x+3|\) должна быть отрицательной. Из определения модуля, это возможно только тогда, когда выражение \(x+3\) отрицательно. Но так как \(a < -3\), то правая часть уравнения больше, чем левая часть, и следовательно, ни одно значение \(x\) не удовлетворяет уравнению. Таким образом, уравнение не имеет корней в этом случае.

2. Параметр \(a = -3\):
Если \(a = -3\), уравнение принимает вид \(|x+3|=-x^2\). Поскольку модуль всегда неотрицателен,
выражение \(-x^2\) также должно быть неотрицательным, что возможно только при \(x=0\). Таким образом, уравнение имеет единственный корень при \(a = -3\).

3. Параметр \(-3 < a < 0\):
В этом случае, уравнение будет иметь два корня. Для того чтобы это показать, рассмотрим два возможных значения выражения \(x+3\): положительное и отрицательное.

При \(x+3 > 0\) получим \(|x+3|=x+3\), и уравнение примет вид \(x+3 = a-x^2\). Объединяя все слагаемые, получим квадратное уравнение \(x^2 + x + (3 - a) = 0\). Если нахождение корней этого квадратного уравнения приводит к двум различным значениям \(x\), то исходное уравнение будет иметь два корня.

Аналогично, при \(x+3 < 0\) получим \(|x+3|=-(x+3)\), и уравнение примет вид \(-(x+3) = a-x^2\). Объединяя слагаемые и упрощая выражение, мы получим \(x^2 + x + (a - 3) = 0\). Если исследование корней этого квадратного уравнения приводит к двум различным значениям \(x\), то исходное уравнение будет иметь два корня.

4. Параметр \(a = 0\):
При \(a = 0\) уравнение принимает вид \(|x+3|=-x^2\). Опять же, поскольку модуль неотрицателен, тогда выражение \(-x^2\) также должно быть неотрицательным. Но так как квадрат \(x^2\) всегда неотрицателен, не существует таких решений, которые удовлетворяли бы этому уравнению. Так что в этом случае уравнение не имеет корней.

5. Параметр \(a > 0\):
При \(a > 0\) уравнение будет иметь до четырех корней. Рассмотрим два возможных значения выражения \(x+3\): положительное и отрицательное, аналогично предыдущему пункту. Если исследование корней квадратного уравнения приводит к наличию двух различных значений \(x\) для каждой из двух частей, то исходное уравнение будет иметь четыре корня.

Таким образом, количество корней у уравнения \(|x+3|=a-x^2\) зависит от значения параметра \(a\) и может быть 0, 1, 2 или 4.