Какова сумма геометрической прогрессии (bn), где bn = 4 * (2/5)^(n-2)?

Хорошо, чтобы найти сумму геометрической прогрессии, воспользуемся формулой для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[S_n = a \cdot \frac{{1 - r^n}}{{1 - r}}\]

Где:
\(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии,
\(a\) - первый член прогрессии,
\(r\) - знаменатель прогрессии.

В данной задаче у нас формула для \(b_n\) имеет вид \(b_n = 4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-2}\).

Но для применения формулы для суммы, мы должны привести данную прогрессию к стандартному виду, где первый член и знаменатель однозначно определены.

Для этого, заменим \(n\) на \((n-2)\) в формуле \(b_n\), чтобы получить \(b_{n-2}\):

\[b_{n-2} = 4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{(n-2)-2} = 4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-4}\]

Теперь первый член \(a\) геометрической прогрессии можно представить как \(b_{n-2}\), а знаменатель \(r\) останется таким же, как и в исходной формуле \(b_n\).

Таким образом, имеем \(a = 4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-4}\) и \(r = \frac{2}{5}\).

Теперь мы можем применить формулу для суммы геометрической прогрессии:

\[S_n = \left(4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-4}\right) \cdot \frac{{1-\left(\frac{2}{5}\right)^n}}{{1-\frac{2}{5}}}\]

Давайте упростим это выражение по шагам.

Первый шаг:

\[\frac{{1-\left(\frac{2}{5}\right)^n}}{{1-\frac{2}{5}}} = \frac{{1-\frac{1}{\left(\frac{5}{2}\right)^n}}}{\frac{3}{5}} = \frac{{5 - \left(\frac{5}{2}\right)^n}}{3}\]

Второй шаг:

\[\left(4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-4}\right) \cdot \frac{{5 - \left(\frac{5}{2}\right)^n}}{3} = \frac{{4 \cdot \left(2^{n-4}\right) \cdot \left(5 - \left(\frac{5}{2}\right)^n\right)}}{3 \cdot 5^{n-4}}\]

Таким образом, сумма геометрической прогрессии \(b_n = 4 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-2}\) равна

\[\frac{{4 \cdot \left(2^{n-4}\right) \cdot \left(5 - \left(\frac{5}{2}\right)^n\right)}}{3 \cdot 5^{n-4}}\]

Надеюсь, это подробное объяснение помогло понять, как получить ответ на задачу. Если у вас возникнут ещё какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!