Вычислите координаты точек пересечения окружности с уравнением c2+y2=13 и прямой с уравнением y=c−5. Ответ: c1

Задача: Вычислите координаты точек пересечения окружности с уравнением \(c^2+y^2=13\) и прямой с уравнением \(y=c-5\).

Решим данную задачу. Последовательно найдём значения координат \(c_1\), \(y_1\), \(c_2\) и \(y_2\) для точек пересечения.

1. Начнем с подстановки уравнения прямой в уравнение окружности. Подставим \(y = c-5\) в уравнение окружности:
\[c^2 + (c-5)^2 = 13.\]

2. Раскроем скобки и упростим выражение:
\[c^2 + c^2 - 10c + 25 = 13.\]

3. Объединим подобные члены:
\[2c^2 - 10c + 12 = 0.\]

4. Решим полученное квадратное уравнение.

a) Найдем дискриминант:
\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 100 - 96 = 4.\]

b) Найдем корни уравнения:
\[c_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 2} = \frac{10 + 2}{4} = \frac{12}{4} = 3,\]
\[c_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 2} = \frac{10 - 2}{4} = \frac{8}{4} = 2.\]

5. Подставим полученные значения \(c_1\) и \(c_2\) в уравнение прямой, чтобы найти значения \(y_1\) и \(y_2\):

a) При \(c_1 = 3\):
\[y_1 = 3 - 5 = -2;\]

b) При \(c_2 = 2\):
\[y_2 = 2 - 5 = -3.\]

Таким образом, координаты точек пересечения окружности и прямой равны: \(c_1 = 3\), \(y_1 = -2\), \(c_2 = 2\), \(y_2 = -3\) (сначала записываем наименьшее значение \(c\)).

Теперь решим систему уравнений:

1. Задана система уравнений:
\[\begin{cases}x-y=2,\\ y^2-2xy=3. \end{cases}\]

Найдем решение данной системы.

Первое уравнение можно переписать в виде:
\[x = y + 2.\]

Подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение:
\[y^2 - 2y(y + 2) = 3.\]

Раскроем скобки и упростим выражение:
\[y^2 - 2y^2 - 4y - 3 = 0.\]

Объединим подобные члены:
\[-y^2 - 4y - 3 = 0.\]

Перенесем все слагаемые влево:
\[y^2 + 4y + 3 = 0.\]

Решим полученное квадратное уравнение.

a) Найдем дискриминант:
\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4.\]

b) Найдем корни уравнения:
\[y_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1,\]
\[y_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3.\]

Подставим значения \(y_1\) и \(y_2\) в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения \(x\):

a) При \(y_1 = -1\):
\[x = -1 + 2 = 1;\]

b) При \(y_2 = -3\):
\[x = -3 + 2 = -1.\]

Таким образом, решения системы уравнений равны: \((1, -1)\) и \((-1, -3)\).

2. Решим систему уравнений методом сложения:

Задана следующая система уравнений:
\[\begin{cases}d^2+c^2=13,\\ d^2-c^2=5. \end{cases}\]

Преобразуем второе уравнение, выразив \(d^2\):
\[d^2 = c^2 + 5.\]

Подставим это выражение для \(d^2\) в первое уравнение:
\[c^2 + 5 + c^2 = 13.\]

Объединим подобные члены и решим полученное квадратное уравнение:
\[2c^2 + 5 = 13,\]
\[2c^2 = 13 - 5,\]
\[2c^2 = 8.\]

Разделим оба выражения на 2:
\[c^2 = \frac{8}{2},\]
\[c^2 = 4,\]
\[c_1 = 2,\]
\[c_2 = -2.\]

Теперь подставим найденные значения \(c_1\) и \(c_2\) во второе уравнение, чтобы найти соответствующие значения \(d\):
\[d_1^2 = 2^2 + 5,\]
\[d_1^2 = 4 + 5,\]
\[d_1^2 = 9,\]
\[d_1 = 3,\]
\[d_2^2 = (-2)^2 + 5,\]
\[d_2^2 = 4 + 5,\]
\[d_2^2 = 9,\]
\[d_2 = 3.\]

Таким образом, решения системы уравнений равны: \(c_1 = 2\), \(d_1 = 3\), \(c_2 = -2\), \(d_2 = 3\).

3. Решим систему уравнений:

Задана система уравнений:
\[\begin{cases}x^2+y^2-2xy=36,\\ x+y=-4. \end{cases}\]

Найдем решение данной системы.

Второе уравнение можно переписать в виде:
\[y = -4 - x.\]

Подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение:
\[x^2 + (-4 - x)^2 - 2x(-4 - x) = 36.\]

Раскроем скобки и упростим выражение:
\[x^2 + (16 + 8x + x^2) + (8x + 2x^2) = 36.\]

Объединим подобные члены:
\[4x^2 + 16x + 16 = 36.\]

Перенесем все слагаемые влево:
\[4x^2 + 16x - 20 = 0.\]

Разделим все члены на 4:
\[x^2 + 4x - 5 = 0.\]

Решим полученное квадратное уравнение.

a) Найдем дискриминант:
\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36.\]

b) Найдем корни уравнения:
\[x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1,\]
\[x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5.\]

Подставим найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) во второе уравнение, чтобы найти соответствующие значения \(y\):

a) При \(x_1 = 1\):
\[y = -4 - 1 = -5;\]

b) При \(x_2 = -5\):
\[y = -4 - (-5) = 1.\]

Таким образом, решения системы уравнений равны: \((1, -5)\) и \((-5, 1)\).

С уважением, Учитель