Какие значения x удовлетворяют неравенству 2x2−14−3−4x6+8x−58≤1924?

Давайте решим данное неравенство пошагово.

Неравенство, данное в задаче, выглядит следующим образом: \(2x^2 - 14 - 3 - 4x + 6x - 58 \leq 1924\).

Шаг 1: Сначала объединим подобные слагаемые: \(2x^2 + (6x - 4x) - (14 + 3 + 58) \leq 1924\).
Продолжая упрощение, получим: \(2x^2 + 2x - 75 \leq 1924\).

Шаг 2: Перенесём все слагаемые влево, чтобы привести неравенство к виду \(2x^2 + 2x - 75 - 1924 \leq 0\).
Теперь неравенство принимает вид: \(2x^2 + 2x - 1999 \leq 0\).

Шаг 3: Неравенство представлено в квадратичной форме \(Ax^2 + Bx + C \leq 0\), где \(A = 2\), \(B = 2\), \(C = -1999\).
Для решения неравенства необходимо найти значения \(x\), при которых квадратное выражение \(Ax^2 + Bx + C\) меньше или равно нулю.

Шаг 4: Для определения значений \(x\) найдём сначала вершины параболы, заданной квадратным выражением \(Ax^2 + Bx + C\).
Координаты вершины находятся по формулам: \(x = -\frac{B}{2A}\) и \(y = -\frac{D}{4A}\), где \(D = B^2 - 4AC\).

В нашем случае, \(A = 2\), \(B = 2\), \(C = -1999\).
Подставив значения в формулы вершины параболы, получим:
\(x = -\frac{2}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}\) и \(y = -\frac{D}{4 \cdot 2} = -\frac{4001}{4}\).

Таким образом, вершина параболы имеет координаты \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{4001}{4}\right)\).

Шаг 5: Определяем характер параболы и её поведение относительно оси \(x\) на основе ведущего коэффициента \(A\).
Поскольку \(A = 2 > 0\), парабола открывается вверх.

Шаг 6: Построим график параболы, чтобы лучше визуализировать решение неравенства.
\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\begin{axis}[
xlabel={\(x\)},
ylabel={\(y\)},
xmin=-10, xmax=10,
ymin=-2000, ymax=2000,
samples=100,
axis lines=middle,
grid=both,
grid style={line width=0.3pt, draw=gray!50},
xtick={-10,-9,...,10},
ytick={-2000,-1500,...,2000},
legend pos=north east,
legend style={draw=none},
width=10cm,
height=8cm,
]
\addplot[domain=-10:10, blue, thick]{2*x^2 + 2*x - 1999};
\addlegendentry{\(2x^2 + 2x - 1999\)};
\draw[fill=red] (-0.5, -4001/4) circle (3pt);
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Шаг 7: Теперь, чтобы определить значения \(x\), при которых неравенство \(2x^2 + 2x - 1999 \leq 0\) выполняется, нам необходимо рассмотреть интервалы, где график параболы находится ниже оси \(x\) или пересекает её.

Шаг 8: В точке вершины параболы график касается оси \(x\), поэтому это нулевая точка и рассматривается как "граничная" точка. Помимо этой точки, график либо всегда ниже оси \(x\), либо пересекает её на некоторых интервалах.

Шаг 9: Чтобы определить, в каких интервалах график параболы ниже оси \(x\), необходимо рассмотреть знаки коэффициентов перед \(x\) в соответствующих интервалах.
Наши интервалы:
- \((-\infty, -\frac{1}{2})\),
- \((-\frac{1}{2}, +\infty)\).

Шаг 10: Проверим знаки коэффициентов перед \(x\) в каждом интервале.

- Для интервала \((-\infty, -\frac{1}{2})\): последовательно заменяем \(x\) в неравенстве на граничные точки интервала \(-\infty\) и \(-\frac{1}{2}\).
- Для \(x = -\infty\): \(2(-\infty)^2 + 2(-\infty) - 1999 < 0\).
- Для \(x = -\frac{1}{2}\): \(2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) - 1999 < 0\).

Мы видим, что в данном интервале значения \(x\) удовлетворяют неравенству.

- Для интервала \((-\frac{1}{2}, +\infty)\): последовательно заменяем \(x\) в неравенстве на граничные точки интервала \(-\frac{1}{2}\) и \(+\infty\).
- Для \(x = -\frac{1}{2}\): \(2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) - 1999 < 0\).
- Для \(x = +\infty\): \(2(+\infty)^2 + 2(+\infty) - 1999 > 0\).

Мы видим, что в данном интервале только значение \(x = -\frac{1}{2}\) удовлетворяет неравенству.

Шаг 11: Таким образом, решением исходного неравенства \(2x^2 - 14 - 3 - 4x + 6x - 58 \leq 1924\) являются все значения \(x\), принадлежащие интервалу \((-\infty, -\frac{1}{2}]\). То есть, \(x \leq -\frac{1}{2}\).

Ответ: Значения \(x\), удовлетворяющие данному неравенству, представляют собой все числа \(x\), меньшие или равные \(-\frac{1}{2}\).