Какова высота ромба, если соотношение его диагоналей составляет 3:8 и периметр равен 146?

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Пусть a и b - длины диагоналей ромба. По условию, соотношение его диагоналей составляет 3:8. Поэтому мы можем записать эти отношения как \(a:b=3:8\).

Шаг 2: Используя данное условие, мы можем представить это соотношение в виде уравнения. Умножим обе части этого соотношения на общий множитель, чтобы избавиться от дробей. Если мы умножим левую часть на 8, а правую часть на 3, мы получим \(8a=3b\).

Шаг 3: Рассмотрим формулу для периметра ромба. Периметр ромба равен сумме длин его сторон. Если мы обозначим длину стороны ромба как s, мы можем записать уравнение периметра как \(4s=146\).

Шаг 4: В ромбе все стороны равны между собой. Поэтому длина любой стороны ромба равна \(s=\frac{{146}}{4}=36.5\).

Шаг 5: Поскольку ромб имеет четыре одинаковых угла, к каждой диагонали можно провести вертикальную высоту (h), которая будет разбивать ромб на два равных треугольника. Поскольку ромб - это фигура симметричная, мы можем рассмотреть только одну из этих половин.

Шаг 6: В треугольнике, образованном половиной ромба и его диагональю, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (в нашем случае h) равен сумме квадратов длин двух других сторон (половины одной диагонали и половины другой диагонали). То есть, \(h^2=(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2\).

Шаг 7: Используя выражение из шага 2, мы можем заменить одну диагональ через другую: \(h^2=(\frac{3b}{2})^2+(\frac{b}{2})^2\).

Шаг 8: Раскроем скобки в данном выражении и упростим его: \(h^2=\frac{9b^2}{4}+\frac{b^2}{4}=\frac{10b^2}{4}=\frac{5b^2}{2}\).

Шаг 9: Нам также известно, что сумма длин диагоналей ромба равна периметру, то есть \(a+b=146\). Поскольку мы знаем соотношение между a и b, мы можем использовать его, чтобы выразить a через b. Разделим обе части этого соотношения на 11, чтобы получить более простую формулу: \(\frac{a}{11}+\frac{b}{11}=\frac{146}{11}\).

Шаг 10: Заменим \(\frac{a}{11}\) на \(\frac{3b}{8}\) (используя условие задачи): \(\frac{3b}{8}+\frac{b}{11}=\frac{146}{11}\).

Шаг 11: Умножим обе части уравнения на 88, чтобы избавиться от дробей: \(24b+8b=146\cdot8\).

Шаг 12: Упростим это уравнение: \(32b=1168\).

Шаг 13: Разделим обе части уравнения на 32, чтобы найти значение b: \(b=\frac{1168}{32}=36.5\).

Шаг 14: Теперь, имея значение b, мы можем найти значение высоты h. Вернемся к уравнению из шага 8 и подставим значение b: \(h^2=\frac{5(36.5)^2}{2}\).

Шаг 15: Вычислим значение h: \(h^2=\frac{5(1332.25)}{2}\), \(h^2=3330.625\), \(h=\sqrt{3330.625}\), \(h=57.66\).

Ответ: Высота ромба составляет 57.66.