Какова вероятность того, что только одна папка останется без рукописи, если 11 рукописей случайно раскладывают

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать комбинаторику и вероятность.

Количество способов раскладывания 11 рукописей по 10 папкам равно комбинации с повторениями, где количество объектов равно числу рукописей, а количество ящиков — числу папок. Формула для комбинации с повторениями выглядит следующим образом:

\[
C(n + k - 1, n) = \frac{{(n + k - 1)!}}{{n! \cdot (k - 1)!}}
\]

где \(n\) — количество объектов (рукописей), а \(k\) — количество ящиков (папок).

В нашей задаче, \(n = 11\) (рукописей) и \(k = 10\) (папок).

Теперь нам необходимо найти количество способов, при которых только одна папка останется без рукописи. Это значит, что нам нужно выбрать одну папку из 10 и разместить в ней все рукописи (11). Все остальные 9 папок будут содержать по одной рукописи.

Количество способов разместить рукописи в одной папке равно 1 (так как все рукописи должны попасть в эту папку).

Теперь нам нужно выбрать эту одну папку из 10. Это можно сделать \(C(10, 1) = 10\) способами.

Таким образом, общее количество способов, при которых только одна папка останется без рукописи, равно \(1 \cdot 10 = 10\).

Теперь мы можем вычислить вероятность этого события, разделив количество способов, при которых получается только одна папка без рукописи, на общее количество способов раскладывания рукописей:

\[
P = \frac{{10}}{{C(11+10-1, 11)}} = \frac{{10}}{{C(20, 11)}} = \frac{{10}}{{\frac{{20!}}{{11! \cdot (20-11)!}}}}
\]

Упрощая это выражение, получим:

\[
P = \frac{{10}}{{\frac{{20!}}{{11! \cdot 9!}}}} = \frac{{11! \cdot 9! \cdot 10}}{{20!}}
\]

Оставляем ответ в виде сокращенной дроби и дальше его упрощать не требуется. Ответ: \(\frac{{10}}{{20}}\) или \(\frac{{1}}{{2}}\).

Таким образом, вероятность того, что только одна папка останется без рукописи, равна \(\frac{{1}}{{2}}\).