Какова вероятность того, что нужно будет проверить половину лампочек из ящика, если в нем есть три неисправные лампочки

Для решения данной задачи нам необходимо выяснить, сколько всего лампочек находится в ящике и сколько из них нужно будет проверить. Затем мы сможем посчитать вероятность проверки половины лампочек.

Из условия задачи известно, что в ящике есть 3 неисправных лампочки и 7 исправных лампочек. Всего в ящике находится 10 лампочек.

Теперь нам нужно определить, сколько лампочек нужно проверить, чтобы получить половину от общего числа лампочек.

Половина от общего числа лампочек будет равна \( \frac{10}{2} = 5 \) лампочкам.

Теперь давайте рассмотрим все возможные варианты проверки, чтобы найти вероятность проверки половины лампочек.

Существует несколько вариантов проверки:

1) Нам может нужно проверить 5 исправных лампочек. Число сочетаний для выбора 5 лампочек из 7 исправных будет равно \( C_7^5 \), что можно вычислить следующим образом:

\[ C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]

2) Нам может понадобиться проверить 4 исправные лампочки и 1 неисправную. Число сочетаний для выбора 4 исправных лампочек из 7 и 1 неисправной из 3 будет равно произведению двух чисел:

\[ C_7^4 \times C_3^1 = \frac{7!}{4!(7-4)!} \times \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{3}{1} = 35 \times 3 = 105 \]

3) Мы можем проверить 3 исправные лампочки и 2 неисправные. Число сочетаний для выбора 3 исправных лампочек из 7 и 2 неисправных из 3 будет равно:

\[ C_7^3 \times C_3^2 = \frac{7!}{3!(7-3)!} \times \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{3}{2} = 35 \times 3 = 105 \]

В итоге, вероятность проверки половины лампочек будет равна сумме вероятностей всех возможных вариантов:

\[ P = \frac{C_7^5 + C_7^4 \times C_3^1 + C_7^3 \times C_3^2}{\text{Общее количество вариантов}} \]

Общее количество вариантов равно числу сочетаний для выбора 5 лампочек из 10 (общее число лампочек):

\[ \text{Общее количество вариантов} = C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252 \]

Теперь мы можем вычислить вероятность:

\[ P = \frac{C_7^5 + C_7^4 \times C_3^1 + C_7^3 \times C_3^2}{C_{10}^5} = \frac{21 + 105 + 105}{252} = \frac{231}{252} \approx 0.917 \]

То есть вероятность того, что нужно будет проверить половину лампочек, составляет примерно 0.917, или около 91.7%.