Какова вероятность того, что нужно будет проверить половину лампочек из ящика, если в нем есть три неисправные лампочки

Для решения данной задачи нам необходимо выяснить, сколько всего лампочек находится в ящике и сколько из них нужно будет проверить. Затем мы сможем посчитать вероятность проверки половины лампочек.

Из условия задачи известно, что в ящике есть 3 неисправных лампочки и 7 исправных лампочек. Всего в ящике находится 10 лампочек.

Теперь нам нужно определить, сколько лампочек нужно проверить, чтобы получить половину от общего числа лампочек.

Половина от общего числа лампочек будет равна $\frac{10}{2}=5$ лампочкам.

Теперь давайте рассмотрим все возможные варианты проверки, чтобы найти вероятность проверки половины лампочек.

Существует несколько вариантов проверки:

1) Нам может нужно проверить 5 исправных лампочек. Число сочетаний для выбора 5 лампочек из 7 исправных будет равно $C_7^5$, что можно вычислить следующим образом:

$$C_7^5=\frac{7!}{5!(7-5)!}=\frac{7!}{5!2!}=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$$

2) Нам может понадобиться проверить 4 исправные лампочки и 1 неисправную. Число сочетаний для выбора 4 исправных лампочек из 7 и 1 неисправной из 3 будет равно произведению двух чисел:

$$C_7^4\times C_3^1=\frac{7!}{4!(7-4)!}\times \frac{3!}{1!(3-1)!}=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}\times \frac{3}{1}=35\times 3=105$$

3) Мы можем проверить 3 исправные лампочки и 2 неисправные. Число сочетаний для выбора 3 исправных лампочек из 7 и 2 неисправных из 3 будет равно:

$$C_7^3\times C_3^2=\frac{7!}{3!(7-3)!}\times \frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}\times \frac{3}{2}=35\times 3=105$$

В итоге, вероятность проверки половины лампочек будет равна сумме вероятностей всех возможных вариантов:

$$P=\frac{C_7^5+C_7^4\times C_3^1+C_7^3\times C_3^2}{\text{Общее количество вариантов}}$$

Общее количество вариантов равно числу сочетаний для выбора 5 лампочек из 10 (общее число лампочек):

$$\text{Общее количество вариантов}=C_{10}^5=\frac{10!}{5!(10-5)!}=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=252$$

Теперь мы можем вычислить вероятность:

$$P=\frac{C_7^5+C_7^4\times C_3^1+C_7^3\times C_3^2}{C_{10}^5}=\frac{21+105+105}{252}=\frac{231}{252}\approx 0.917$$

То есть вероятность того, что нужно будет проверить половину лампочек, составляет примерно 0.917, или около 91.7%.