Какова вероятность того, что случайно выбранная участница успешно выполнит более одного, но не более четырех заданий

Для решения данной задачи нам понадобится формула для вероятности биномиального распределения. В данном случае, мы имеем 6 попыток выполнить задания, вероятность успеха в каждой попытке равна 0.54, а нам требуется определить вероятность того, что успешно будет выполнено более одного, но не более четырех заданий из шести.

Формула для вероятности биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}\]

где:
- \(P(X = k)\) - вероятность того, что случайная величина X примет значение k
- \(C(n, k)\) - количество комбинаций из n элементов, выбранных k способами, что вычисляется по формуле: \(C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\), где "!" обозначает факториал
- \(p\) - вероятность успеха в одной попытке
- \(n\) - количество попыток

Таким образом, нам нужно вычислить вероятности для значений k = 2, 3 и 4, а затем сложить их.

\[\begin{align*}
P(X = 2) &= C(6, 2) \cdot (0.54)^2 \cdot (1 - 0.54)^{6-2} \\
P(X = 3) &= C(6, 3) \cdot (0.54)^3 \cdot (1 - 0.54)^{6-3}\\
P(X = 4) &= C(6, 4) \cdot (0.54)^4 \cdot (1 - 0.54)^{6-4}
\end{align*}\]

Вычислим значения:

\[\begin{align*}
P(X = 2) &= C(6, 2) \cdot (0.54)^2 \cdot (1 - 0.54)^4 \\
&= \frac{{6!}}{{2! \cdot (6-2)!}} \cdot (0.54)^2 \cdot (0.46)^4 \\
&= \frac{{6 \cdot 5}}{{2 \cdot 1}} \cdot 0.2916 \cdot 0.04666 \\
&\approx 0.292
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
P(X = 3) &= C(6, 3) \cdot (0.54)^3 \cdot (1 - 0.54)^3 \\
&= \frac{{6!}}{{3! \cdot (6-3)!}} \cdot (0.54)^3 \cdot (0.46)^3 \\
&= \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} \cdot 0.157464 \cdot 0.097336 \\
&\approx 0.277
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
P(X = 4) &= C(6, 4) \cdot (0.54)^4 \cdot (1 - 0.54)^2\\
&= \frac{{6!}}{{4! \cdot (6-4)!}} \cdot (0.54)^4 \cdot (0.46)^2 \\
&= \frac{{6 \cdot 5}}{{2 \cdot 1}} \cdot 0.31684416 \cdot 0.2116 \\
&\approx 0.262
\end{align*}\]

Теперь, чтобы получить искомую вероятность, сложим эти значения:

\[P(\text{более 1, но не более 4}) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)\]
\[P(\text{более 1, но не более 4}) \approx 0.292 + 0.277 + 0.262 \approx 0.831\]

Ответ: Вероятность того, что случайно выбранная участница успешно выполнит более одного, но не более четырех заданий из шести, равна примерно 0.831 (округлено до трех знаков после запятой).