Перечислите соответствующий заключение для каждого неравенства. Обоснуйте ваш ответ а) x2 – 4x + 1 ≤ 0. б) 2x2 – x

а) Для решения неравенства \(x^2 - 4x + 1 \leq 0\), мы можем использовать квадратное уравнение и график функции. Давайте решим это неравенство пошагово:

1. Сначала найдем вершину параболы, которая представляет график функции \(f(x) = x^2 - 4x + 1\). Формула для нахождения вершины имеет вид \(x = -\frac{b}{2a}\). В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -4\), поэтому \(x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = -\frac{-4}{2} = 2\).
2. Затем мы можем найти значение функции в этой точке, подставив \(x = 2\) в уравнение \(f(x)\). Получим \(f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 1\).
3. Учитывая, что у нас имеется парабола с ветвями, направленными вверх (поскольку коэффициент \(a\) положителен), мы можем заключить, что график функции \(f(x)\) лежит ниже оси \(x\) там, где \(f(x) \leq 0\), и находится выше оси \(x\) там, где \(f(x) > 0\).
4. Исходя из вышесказанного, мы можем заключить, что решением данного неравенства является замкнутый интервал \([-\infty, 2\] или, если вы предпочитаете запись в виде неравенства, \(x \leq 2\).

Таким образом, ответ на задачу а) - решением неравенства \(x^2 - 4x + 1 \leq 0\) является замкнутый интервал \([-\infty, 2\] или \(x \leq 2\).

б) Теперь рассмотрим неравенство \(2x^2 - x + 4 > 0\). Чтобы решить это неравенство, мы можем использовать метод дискриминанта или график функции. Давайте выберем графический метод:

1. Здесь мы видим, что коэффициент \(a\) положителен (\(a = 2\)), поэтому парабола будет направлена вверх.
2. Рассмотрим график функции \(f(x) = 2x^2 - x + 4\). Мы должны найти точки, где график функции находится выше оси \(x\) (\(f(x) > 0\)).
3. С помощью графика мы видим, что график функции \(f(x)\) никогда не пересекает ось \(x\) и всегда находится выше нее, что означает, что \(f(x) > 0\) для всех значений \(x\).
4. Таким образом, решением данного неравенства является вся числовая ось, что соответствует варианту ответа 2).

Ответ на задачу б) - решением неравенства \(2x^2 - x + 4 > 0\) является вся числовая ось.

в) Продолжим с неравенством \(-x^2 + 3x - 8 \geq 0\). Здесь снова можно использовать график или метод дискриминанта:

1. Поскольку коэффициент перед \(x^2\) отрицательный (\(-1\)), парабола будет направлена вниз.
2. Найдем вершину параболы. В данном случае, \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot -1} = 1.5\).
3. Подставим \(x = 1.5\) в уравнение \(-x^2 + 3x - 8\). Получим \(-1.5^2 + 3 \cdot 1.5 - 8 = -2.25 + 4.5 - 8 = -5.75\).
4. График функции \(f(x) = -x^2 + 3x - 8\) будет находиться выше оси \(x\) для всех значений \(x\), где \(f(x) \geq 0\).
5. Следовательно, решением данного неравенства является объединение двух интервалов.

Ответ на задачу в) - решением неравенства \(-x^2 + 3x - 8 \geq 0\) является пункт 6) - решением неравенства является объединение двух интервалов.

г) Наконец, рассмотрим неравенство \(-x^2 + 16 \geq 0\):

1. Мы видим, что коэффициент перед \(x^2\) отрицательный (\(-1\)), поэтому парабола будет направлена вниз.
2. Найдем вершину параболы: \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot -1} = 0\).
3. Подставим \(x = 0\) в уравнение \(-x^2 + 16\) и получим \(-0^2 + 16 = 16\).
4. График функции \(f(x) = -x^2 + 16\) будет находиться выше оси \(x\) для всех значений \(x\), где \(f(x) \geq 0\).
5. Таким образом, решением данного неравенства является вся числовая ось.

Ответ на задачу г) - решением неравенства \(-x^2 + 16 \geq 0\) является пункт 2) - решением неравенства является вся числовая ось.

Я надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять, как получить ответы на данные неравенства. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!