Какова сумма всех натуральных чисел a, удовлетворяющих условию нок(a: 266) = 266?

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти сумму всех натуральных чисел \(a\), которые удовлетворяют условию \(\text{НОК}(a, 266) = 266\). Чтобы начать, давайте разберемся с тем, что такое НОК.

НОК, или наименьшее общее кратное, двух чисел - это наименьшее положительное число, которое делится на оба заданных числа без остатка. Давайте найдем НОК(а: 266).

Мы знаем, что 266 = 2 × 7 × 19. В этом выражении нет повторяющихся простых множителей, поэтому \(\text{НОК}(a: 266) = 2^b \times 7^c \times 19^d\), где \(b\), \(c\) и \(d\) - степени чисел 2, 7 и 19 соответственно.

Теперь давайте рассмотрим степени каждого из этих простых чисел. Поскольку мы ищем все натуральные числа \(a\), удовлетворяющие условию \(\text{НОК}(a: 266) = 266\), степени \(b\), \(c\) и \(d\) должны быть неотрицательными.

Поскольку 2 входит в разложение 266 с множителем 1 (т.е. \(2^1\)), \(b\) может быть равно 1.

Аналогично, поскольку 7 входит в разложение 266 с множителем 1 (т.е. \(7^1\)), \(c\) может быть равно 1.

Наконец, поскольку 19 входит в разложение 266 с множителем 1 (т.е. \(19^1\)), \(d\) может быть равно 1.

Таким образом, у нас есть три варианта: \(b = 1, c = 0, d = 0\), \(b = 0, c = 1, d = 0\) и \(b = 0, c = 0, d = 1\).

Применяя эти значения к выражению \(\text{НОК}(a: 266) = 2^b \times 7^c \times 19^d\):

Для первого случая \(\text{НОК}(a: 266) = 2^1 \times 7^0 \times 19^0 = 2\)

Для второго случая \(\text{НОК}(a: 266) = 2^0 \times 7^1 \times 19^0 = 7\)

Для третьего случая \(\text{НОК}(a: 266) = 2^0 \times 7^0 \times 19^1 = 19\)

Таким образом, мы получаем три натуральных числа: 2, 7 и 19, которые удовлетворяют условию \(\text{НОК}(a: 266) = 266\).

Для нахождения суммы этих чисел мы просто складываем их:

\(2 + 7 + 19 = 28\)

Таким образом, сумма всех натуральных чисел \(a\), которые удовлетворяют условию \(\text{НОК}(a: 266) = 266\), равна 28.