Яке найменше значення має вираз 1/x+1/y, де x і y - додатні числа такі, що сума x+y становить

На даній задачі ми маємо знайти найменше значення виразу \(1/x + 1/y\), де \(x\) і \(y\) - додатні числа і їхня сума становить \(k\). Давайте проаналізуємо цей вираз.

Спочатку нам слід зрозуміти, як впливає зміна значень \(x\) і \(y\) на вираз \(1/x + 1/y\). Зауважимо, що чим більше значення \(x\) або \(y\), тим менше буде значення виразу, оскільки дріб \(1/x\) або \(1/y\) буде менше. Зворотна ситуація також має місце: чим менше значення \(x\) або \(y\), тим більше буде значення виразу.

Оскільки нас цікавить найменше значення виразу, то потрібно знайти такі значення \(x\) і \(y\), які максимально зменшують значення виразу. Для цього розглянемо граничний випадок, коли або \(x\), або \(y\) дорівнює нулю.

Якщо \(x = 0\), то вираз \(1/x\) є нескінченним, оскільки ділення на нуль неможливе. Аналогічно, якщо \(y = 0\), то вираз \(1/y\) також є нескінченним. Отже, нуль не може бути значенням \(x\) або \(y\).

Тепер, коли ми відкидаємо можливість нульових значень \(x\) і \(y\), можемо виявити, що мінімальне значення виразу досягається, коли \(x\) і \(y\) рівні одне одному. Давайте доведемо це.

Нехай \(x = y = a\), де \(a\) - додатне число. Тоді вираз \(1/x + 1/y\) стає: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{a}\).

Складемо ці дроби: \(\frac{1+1}{a} = \frac{2}{a}\).

Якщо ми зростаємо значенням \(a\), то зменшується значення виразу \(2/a\). Отже, найменше значення виразу досягається, коли \(x\) і \(y\) рівні одне одному.

Таким чином, мінімальне значення виразу \(1/x + 1/y\) за умови \(x + y = k\) досягається, коли \(x = y = \frac{k}{2}\).

Остаточний відповідь: найменше значення виразу \(1/x + 1/y\) становить \(\frac{2}{k}\), де \(k\) - сума \(x\) і \(y\), а \(x\) і \(y\) рівні одне одному і дорівнюють \(\frac{k}{2}\).