Какова сумма первых семи членов геометрической прогрессии (bn), если b4 равно 81 и q равно -1/3?

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Первоначально, нам дано, что \(b_4 = 81\) и \(q = -\frac{1}{3}\). Здесь \(b_4\) обозначает четвёртый член геометрической прогрессии, а \(q\) обозначает её знаменатель.

Чтобы найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии, мы можем воспользоваться формулой для суммы конечной геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{{b_1 \cdot (1 - q^n)}}{{1 - q}}\]

Где \(S_n\) обозначает сумму первых \(n\) членов геометрической прогрессии, \(b_1\) - первый член прогрессии, а \(q\) - знаменатель.

В нашем случае, нам нужно найти сумму первых семи членов, значит \(n = 7\).

Для начала, давайте найдём первый член \(b_1\). Для этого нам необходимо выразить его через \(b_4\) и \(q\).

Знаем, что любой член геометрической прогрессии можно найти по следующей формуле:

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

Подставим значения для \(b_4\) и \(q\):

\[81 = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^3\]

Мы знаем, что \(\left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1}{27}\), поэтому:

\[81 = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{27}\right)\]

Умножим обе стороны уравнения на \(-27\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[81 \cdot (-27) = b_1\]

\[-2187 = b_1\]

Теперь мы можем использовать найденное значение \(b_1\), чтобы найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии:

\[S_7 = \frac{{(-2187) \cdot (1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^7)}}{{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)}}\]

Упростим это выражение:

\[S_7 = \frac{{(-2187) \cdot (1 - \frac{1}{2187})}}{{1 + \frac{1}{3}}}\]

\[S_7 = \frac{{(-2187) \cdot \frac{2186}{2187}}}{{\frac{4}{3}}}\]

\[S_7 = \frac{{(-2187) \cdot 2186}}{{4 \cdot 2187}}\]

\[S_7 = \frac{{-2187 \cdot 2186}}{{4 \cdot 2187}}\]

\[S_7 = \frac{{-2186}}{{4}}\]

\[S_7 = -546.5\]

Таким образом, сумма первых семи членов геометрической прогрессии равна -546.5.