Какова скорость течения реки, если теплоход проплывает расстояние 40 км по течению на 20 минут быстрее, чем против

Чтобы найти скорость течения реки, давайте предположим, что скорость течения обозначается как \(v\) км/ч. Тогда, если теплоход движется по течению, его эффективная скорость будет равна сумме собственной скорости теплохода и скорости течения:

\[
v_1 = 22 + v
\]

Здесь \(v_1\) обозначает скорость теплохода по течению.

Если теплоход движется против течения, его эффективная скорость будет равна разности собственной скорости теплохода и скорости течения:

\[
v_2 = 22 - v
\]

Здесь \(v_2\) обозначает скорость теплохода против течения.

Мы знаем, что теплоход проплывает расстояние 40 км по течению на 20 минут быстрее, чем против течения. Выразим это математически:

\[
\frac{{40}}{{v_1}} = \frac{{40}}{{v_2}} + \frac{{20}}{{60}}
\]

Здесь мы преобразовали 20 минут в часы, поделив на 60.

Разделим обе стороны уравнения на 40 и упростим:

\[
\frac{{1}}{{v_1}} = \frac{{1}}{{v_2}} + \frac{{1}}{{120}}
\]

Далее, подставим значения \(v_1 = 22 + v\) и \(v_2 = 22 - v\):

\[
\frac{{1}}{{22 + v}} = \frac{{1}}{{22 - v}} + \frac{{1}}{{120}}
\]

Теперь решим полученное уравнение для скорости течения \(v\).

Умножим обе стороны уравнения на \((22 + v)(22 - v)\cdot 120\) для упрощения:

\[
120(22 - v) = 120(22 + v) + (22 + v)(22 - v)
\]

Раскроем скобки:

\[
120 \cdot 22 - 120v = 120 \cdot 22 + 120v + 22^2 - v^2
\]

Упростим уравнение и сократим:

\[
- 240v = 484 - v^2
\]

Перенесем все в одну сторону:

\[
v^2 - 240v - 484 = 0
\]

Данное квадратное уравнение может быть решено с помощью квадратного корня:

\[
v = \frac{{240 \pm \sqrt{{240^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-484)}}}}{{2}}
\]

\[
v = \frac{{240 \pm \sqrt{{57616}}}}{{2}}
\]

Вычислим подкоренное выражение:

\[
v = \frac{{240 \pm 240.02}}{{2}}
\]

Теперь разберем два случая:

1. Если \(v = \frac{{240 + 240.02}}{{2}}\):

\[
v = \frac{{480.02}}{{2}} = 240.01
\]

2. Если \(v = \frac{{240 - 240.02}}{{2}}\):

\[
v = \frac{{-0.02}}{{2}} = -0.01
\]

Мы получили два значения для скорости течения: \(v = 240.01\) и \(v = -0.01\). Отрицательное значение не имеет смысла в данном контексте, поэтому мы можем сделать вывод, что скорость течения реки равна \(240.01\) км/ч.