Яку суму утворюють перші шість членів геометричної прогресії (bn), якщо b5 = 16 та b8 = 1024?

Давайте решим данную задачу. По условию задачи дано, что \( b_5 = 16 \) и \( b_8 = 1024 \). Мы должны найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии.

Для начала давайте найдем знаменатель этой геометрической прогрессии. Знаменатель прогрессии обозначим как \( q \).

Мы знаем, что \( b_8 = b_5 \cdot q^3 \). Подставляя известные значения, получаем:

\[ 1024 = 16 \cdot q^3 \]

Чтобы найти \( q \), возведем обе части уравнения в степень \( \frac{1}{3} \):

\[ {1024}^{\frac{1}{3}} = 16^{\frac{1}{3}} \cdot q \]

Рассчитаем значения в полученном уравнении:

\[ \sqrt[3]{1024} = \sqrt[3]{16} \cdot q \]

Вычислим корни:

\[ 2^{\frac{10}{3}} = 2^{\frac{4}{3}} \cdot q \]

Таким образом, получаем:

\[ q = 2^{\frac{10}{3}} \div 2^{\frac{4}{3}} \]

Далее, найдем первый член геометрической прогрессии, обозначим его как \( b_1 \).

Мы знаем, что \( b_5 = b_1 \cdot q^4 \). Подставляя известные значения, получаем:

\[ 16 = b_1 \cdot \left( 2^{\frac{10}{3}} \div 2^{\frac{4}{3}} \right)^4 \]

Упростим данное уравнение:

\[ 16 = b_1 \cdot 2^{\frac{40}{3} - \frac{16}{3}} \]

\[ 16 = b_1 \cdot 2^{\frac{24}{3}} \]

\[ 16 = b_1 \cdot 2^8 \]

\[ b_1 = \frac{16}{2^8} \]

Теперь мы можем найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии \( S_6 \). Формула для нахождения суммы первых n членов такой прогрессии выглядит следующим образом:

\[ S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1} \]

Подставляя известные значения:

\[ S_6 = \frac{\frac{16}{2^8} \cdot \left( \left(2^{\frac{10}{3}} \div 2^{\frac{4}{3}}\right)^6 - 1 \right)}{\left(2^{\frac{10}{3}} \div 2^{\frac{4}{3}}\right) - 1} \]

Упростим данное уравнение:

\[ S_6 = \frac{16 \cdot \left( 2^{\frac{60}{3}} - 1 \right)}{2^{\frac{10}{3}} - 2^{\frac{4}{3}}} \]

\[ S_6 = \frac{16 \cdot \left( 2^{20} - 1 \right)}{2^{\frac{10}{3}} - 2^{\frac{4}{3}}} \]

\[ S_6 = \frac{16 \cdot \left( 2^{20} - 1 \right)}{2^{\frac{10}{3}} - 2^{\frac{4}{3}}} \]

\[ S_6 = \frac{16 \cdot \left( 2^{20} - 1 \right)}{2^{\frac{10 - 4}{3}}} \]

\[ S_6 = \frac{16 \cdot \left( 2^{20} - 1 \right)}{2^{\frac{6}{3}}} \]

\[ S_6 = \frac{16 \cdot \left( 2^{20} - 1 \right)}{2^2} \]

\[ S_6 = 16 \cdot \frac{2^{20} - 1}{4} \]

\[ S_6 = 4 \cdot ( 2^{20} - 1 ) \]

Таким образом, сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна \( 4 \cdot (2^{20} - 1) \).

Надеюсь, я смог прояснить задачу и дать подробное решение для понимания школьником. Если возникнут дополнительные вопросы, обязательно задайте их!