Какова площадь второго помещения, если известно, что у трех квадратных помещений стороны связаны следующим образом

Чтобы найти площадь второго помещения, мы должны разобраться в связи между сторонами трех квадратных помещений и площадью.

Пусть \( а \) - сторона первого помещения (в метрах),
\( b \) - сторона второго помещения (в метрах),
\( c \) - сторона третьего помещения (в метрах).

Согласно условию задачи, мы можем записать следующие соотношения:

\( a = b + 3 \) - сторона первого помещения на 3 метра больше стороны второго,

\( b = c + 3 \) - сторона второго помещения на 3 метра больше стороны третьего.

Также известно, что площадь первого помещения на 66 квадратных метров больше площади третьего помещения. Мы можем записать это условие следующим образом:

\( a^2 = c^2 + 66 \).

Теперь у нас есть система уравнений, которую нужно решить, чтобы найти значения сторон помещений.

Сначала заменим \( a \) в третьем уравнении с помощью первого уравнения:

\( (b + 3)^2 = c^2 + 66 \).

Раскроем скобки:

\( b^2 + 6b + 9 = c^2 + 66 \).

Теперь заменим \( b \) в этом уравнении с помощью второго уравнения:

\( (c + 3)^2 + 6(c + 3) + 9 = c^2 + 66 \).

Раскроем скобки и упростим:

\( c^2 + 6c + 9 + 6c + 18 + 9 = c^2 + 66 \).

Сократим подобные члены:

\( 2c^2 + 12c + 36 = c^2 + 66 \).

Теперь перенесем все члены в одну сторону и упростим:

\( c^2 - 12c + 30 = 0 \).

Мы получили квадратное уравнение. Давайте решим его с помощью формулы дискриминанта:

\[ c = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \].

В нашем случае: \( a = 1 \), \( b = -12 \), \( c = 30 \).

Подставим значения в формулу и найдем значения \( c \):

\[ c = \frac{{-(-12) \pm \sqrt{{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{12 \pm \sqrt{{144 - 120}}}}{2} = \frac{{12 \pm \sqrt{{24}}}}{2} \].

Упростим корни:

\[ c = \frac{{12 \pm 2\sqrt{{6}}}}{2} = 6 \pm \sqrt{{6}} \].

Таким образом, получили два возможных значения для стороны третьего помещения: \( c_1 = 6 + \sqrt{{6}} \) и \( c_2 = 6 - \sqrt{{6}} \).

Теперь, чтобы найти стороны первого и второго помещений, подставим значения \( c_1 \) и \( c_2 \) в соответствующие уравнения:

Для \( c_1 \):
\( b = c_1 + 3 = (6 + \sqrt{{6}}) + 3 = 9 + \sqrt{{6}} \) - сторона второго помещения,
\( a = b + 3 = (9 + \sqrt{{6}}) + 3 = 12 + \sqrt{{6}} \) - сторона первого помещения.

Для \( c_2 \):
\( b = c_2 + 3 = (6 - \sqrt{{6}}) + 3 = 9 - \sqrt{{6}} \) - сторона второго помещения,
\( a = b + 3 = (9 - \sqrt{{6}}) + 3 = 12 - \sqrt{{6}} \) - сторона первого помещения.

Таким образом, мы нашли две пары сторон для первого и второго помещений:

1) Стороны первого помещения: \( a_1 = 12 + \sqrt{{6}} \), стороны второго помещения: \( b_1 = 9 + \sqrt{{6}} \).

2) Стороны первого помещения: \( a_2 = 12 - \sqrt{{6}} \), стороны второго помещения: \( b_2 = 9 - \sqrt{{6}} \).

Теперь мы можем найти площади этих помещений.
Площадь квадрата можно найти, возводя его сторону в квадрат. Так что площадь \( S \) первого помещения будет равна:

\[ S_1 = (12 + \sqrt{{6}})^2 = 144 + 24\sqrt{{6}} + 6 \],

\[ S_2 = (12 - \sqrt{{6}})^2 = 144 - 24\sqrt{{6}} + 6 \].

Площадь второго помещения будет равна:

\[ S_1 - S_2 = (144 + 24\sqrt{{6}} + 6) - (144 - 24\sqrt{{6}} + 6) = 48\sqrt{{6}} \].

Таким образом, площадь второго помещения равна \( 48\sqrt{{6}} \) квадратных метров.