Какое значение функции y=x+(4/x)+14 является наибольшим на отрезке [-11 -0,5]?

Для решения данной задачи мы будем искать наибольшее значение функции \(y = x + \frac{4}{x} + 14\) на заданном отрезке \([-11, -0.5]\).

1. Для начала, найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Чтобы найти производную, возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности:

\[
\frac{d}{dx}\left(x\right) = 1
\]
\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x}\right) = -\frac{4}{x^2} \quad \text{(по правилу бросящегося знака)}
\]
\[
\frac{d}{dx}\left(14\right) = 0 \quad \text{(константа обращается в ноль)}
\]

Теперь найденные производные сложим:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x}\right) + \frac{d}{dx}(14) = 1 - \frac{4}{x^2}
\]

2. Найдем точки, где производная равна нулю или не определена. Поскольку мы знаем, что \(\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{4}{x^2}\), приравняем ее к нулю и решим уравнение:

\[
1 - \frac{4}{x^2} = 0
\]

Умножим обе части на \(x^2\) и перенесем все слагаемые на одну сторону:

\[
x^2 - 4 = 0
\]

Выражение может быть факторизовано следующим образом:

\[
(x + 2)(x - 2) = 0
\]

Таким образом, имеем две точки, в которых производная равна нулю: \(x = -2\) и \(x = 2\).

3. Определим, является ли каждая из этих точек экстремумами (максимумами или минимумами). Для этого нам нужно проанализировать знаки производной в окрестности каждой точки.

- Рассмотрим окрестность точки \(x = -2\):

- Если \(x < -2\), то \(\frac{dy}{dx} > 0\) (так как \(1 - \frac{4}{(-2)^2} = 3 > 0\)).

- Если \(-2 < x < 0\), то \(\frac{dy}{dx} < 0\) (так как \(1 - \frac{4}{x^2} < 0\)).

- Если \(x > 0\), то \(\frac{dy}{dx} > 0\) (так как \(1 - \frac{4}{x^2} > 0\)).

Таким образом, в окрестности точки \(x = -2\) функция \(y\) убывает до точки и затем возрастает, что означает, что в данной точке \(x = -2\) достигается локальный минимум (наименьшее значение функции в окрестности).

- Рассмотрим окрестность точки \(x = 2\):

- Если \(x < 2\), то \(\frac{dy}{dx} < 0\) (так как \(1 - \frac{4}{x^2} < 0\)).

- Если \(x > 2\), то \(\frac{dy}{dx} > 0\) (так как \(1 - \frac{4}{x^2} > 0\)).

Таким образом, в окрестности точки \(x = 2\) функция \(y\) возрастает, что означает, что в данной точке \(x = 2\) достигается локальный максимум (наибольшее значение функции в окрестности).

4. Определим, какие значения функции \(y\) соответствуют локальным экстремумам:

- В точке \(x = -2\), где достигается локальный минимум, найдем значение функции \(y\): \(y = (-2) + \frac{4}{-2} + 14 = -2 - 2 + 14 = 10\).
- В точке \(x = 2\), где достигается локальный максимум, найдем значение функции \(y\): \(y = 2 + \frac{4}{2} + 14 = 2 + 2 + 14 = 18\).

Таким образом, на заданном отрезке \([-11, -0.5]\), наибольшим значением функции \(y\) является \(y = 18\), которое достигается при \(x = 2\).