Какова площадь тупоугольного равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, если точка касания окружности

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо применить некоторые свойства тупоугольных равнобедренных треугольников и окружностей.

Давайте начнем с того, что обозначим сторону треугольника, которая делится точкой касания, как \(AB\). И обозначим точку касания как \(M\). Также обозначим центр окружности как \(O\).

В равнобедренном треугольнике со стороной \(AB\) и медианой \(AM\), медиана является высотой и биссектрисой одновременно. Это означает, что медиана \(AM\) делит основание треугольника \(AB\) на две равные части. Так как мы знаем, что одна из этих частей равна 9, можно заключить, что вся сторона \(AB\) равна 18.

Так как треугольник вписан в окружность, его вершины лежат на окружности. По свойству равнобедренных треугольников, у которых сторона основания является диаметром окружности, угол при вершине равнобедренного треугольника является прямым углом. Следовательно, в нашем случае, угол \(AMB\) является прямым углом.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора для нахождения длины высоты \(MH\), где \(H\) - это точка, где высота пересекает сторону \(AB\). Так как \(AM\) является медианой, а \(MH\) - высотой, то точка \(H\) делит медиану на отрезки длиной 9 и \(x\) (где \(x\) - длина \(MH\)).

По теореме Пифагора:

\[9^2 + x^2 = 18^2\]
\[81 + x^2 = 324\]
\[x^2 = 324 - 81\]
\[x^2 = 243\]
\[x = \sqrt{243}\]

Таким образом, мы нашли длину высоты \(MH\) равную \(\sqrt{243}\).

И наконец, мы можем рассчитать площадь треугольника, используя формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MH\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \sqrt{243}\]
\[S = 9 \cdot \sqrt{243}\]

Ответ: площадь тупоугольного равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, равна \(9 \cdot \sqrt{243}\).