Якого розміру сторона спільна у квадрата і прямокутника з площами 25 см² і 50 см² відповідно, які мають площини

Щоб знайти спільну сторону квадрата і прямокутника, нам потрібно зрозуміти, як пов"язані їх площі та кути.

Ми маємо прямокутник з площею 50 см². Нехай його сторони позначаються через a та b. Таким чином, a × b = 50.

Також ми маємо квадрат з площею 25 см². Позначимо його сторону як s. Очевидно, s × s = 25.

Зауважимо, що площі обох фігур можна обчислити, використовуючи формулу площі прямокутника (або квадрата) - довжина сторони, помножена на ширину/висоту.

Тепер давайте знайдемо, яким чином вони утворять кут 60°.

Розглянемо прямокутник та квадрат таким чином, що верхня сторона прямокутника розташована горизонтально, а нижня - вертикально, але є однієї довжини зі стороною квадрата.

Нам потрібно знайти таку довжину, яка утворює кут 60° з верхньою стороною прямокутника і має спільну сторону з квадратом. Нехай ця довжина позначається як x.

За допомогою тривіалних геометричних міркувань, ми можемо помітити, що бічні грані квадрата паралельні до бічних сторін прямокутника. Тому, різниця між довжиною та шириною прямокутника дорівнює x.

Крім того, ми знаємо, що тангенс кута дорівнює висоті поділеній на основу прямокутника. Оскільки кут дорівнює 60°, ми можемо записати таке співвідношення:

\tan(60°) = \frac{a - b}{x}

Але також ми знаємо, що тангенс 60° дорівнює \sqrt{3}. З цього ми отримуємо таку рівняння:

\sqrt{3} = \frac{a - b}{x}

Тепер ми можемо використати це рівняння, щоб виразити x через a та b.

Множачи обидві частини рівняння на x, ми отримуємо:

x \cdot \sqrt{3} = a - b

Тепер, щоб визначити відстань між паралельними сторонами квадрата і прямокутника, ми маємо рівняння:

s = a - x

Тут s - сторона квадрата. Підставляючи x = \frac{a - b}{\sqrt{3}} в це рівняння, ми отримуємо відповідь:

s = a - \frac{a - b}{\sqrt{3}}

Після скорочень отримуємо:

s = \frac{\sqrt{3} \cdot b}{\sqrt{3} - 1}

Таким чином, довжина спільної сторони квадрата і прямокутника, а також відстань між їх паралельними сторонами, можна обчислити за формулами:

x = \frac{a - b}{\sqrt{3}}
s = \frac{\sqrt{3} \cdot b}{\sqrt{3} - 1}

Також, якщо вам потрібно конкретні значення, не забудьте підставити відомі значення площ та обчислити числові вирази. Успіхів з розв"язанням!