Какова площадь параллелограмма ABCD, если его периметр равен 40, диагональ AC равна 15, а угол ACD равен 60 градусов?

Для решения этой задачи воспользуемся двумя свойствами параллелограмма.

Свойство 1: Периметр параллелограмма равен сумме длин его сторон.

Свойство 2: Диагонали параллелограмма делятся пополам.

Обозначим стороны параллелограмма следующим образом:
AB = a
BC = b

Так как параллелограмм имеет две параллельные стороны, то AB = CD = a и BC = AD = b.

Используя свойство 1, составим уравнение для периметра:
2a + 2b = 40

Используя свойство 2, получим другое уравнение:
AC = \frac{1}{2} \cdot DB

Мы знаем, что AC = 15, поэтому:
15 = \frac{1}{2} \cdot DB
DB = 15 \cdot 2 = 30

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Мы знаем длины его сторон AC = 15 и CD = a. Также нам дан угол ACD = 60 градусов.

Воспользуемся формулой для площади треугольника, которая выглядит так:
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)

где a и b - длины сторон треугольника, а \gamma - угол между этими сторонами.

Подставим известные значения в эту формулу:
S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot a \cdot \sin(60)

Угол 60 градусов соответствует стандартному значению синуса:
\sin(60) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Подставим это значение в уравнение для площади:
S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
S = 15 \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
S = \frac{15a \sqrt{3}}{2}

Теперь мы знаем, что площадь параллелограмма равна \frac{15a \sqrt{3}}{2}.

Если мы поделим эту площадь на \frac{\sqrt{3}}{2}, получим:
\frac{\frac{15a \sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
При делении на дробь мы можем упростить это до:
\frac{15a \sqrt{3}}{\sqrt{3}}
\frac{15a \cdot \cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{\sqrt{3}}}
15a.

То есть, значение выражения \frac{2S}{\sqrt{3}} равно 2 * 15a / \sqrt{3}, что можно упростить до 30a / \sqrt{3}.

Итак, площадь параллелограмма ABCD равна 30a / \sqrt{3}.