Какова площадь области, заключенной между графиками функций y=x^3 , y=2x-x^2 и осью?

Чтобы найти площадь области, заключенной между графиками функций \(y=x^3\), \(y=2x-x^2\) и осью \(x\), мы должны сначала найти точки пересечения каждой пары функций. Затем, используя полученные точки, мы можем разделить область на участки и найти площадь каждого участка с помощью определенного интеграла.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения графиков функций \(y=x^3\) и \(y=2x-x^2\). Чтобы найти эти точки, мы должны приравнять два уравнения:

\[x^3 = 2x-x^2\]

Переупорядочивая это уравнение, получим:

\[x^3 + x^2 - 2x = 0\]

Мы можем продолжить, факторизуя это уравнение:

\[x(x^2 + x - 2) = 0\]

Затем мы находим корни уравнения, считая, что каждый фактор равен нулю:

\[x = 0, \quad x^2 + x - 2 = 0\]

Первое уравнение \(x = 0\) даёт нам корень \(x = 0\).

Чтобы решить второе квадратное уравнение \(x^2 + x - 2 = 0\), мы можем либо факторизовать его, либо использовать квадратное уравнение:

\[x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) = 0\]

Получаем два дополнительных корня: \(x = 1\) и \(x = -2\).

Теперь у нас есть точки пересечения функций \(y=x^3\) и \(y=2x-x^2\): \(x = 0\), \(x = 1\) и \(x = -2\).

Чтобы найти площадь области между графиками функций, мы будем использовать определенный интеграл. Мы можем найти площадь каждого участка между точками пересечения, а затем сложить полученные площади.

1) Участок между графиками \(y=x^3\) и \(y=2x-x^2\) на интервале \([-2, 0]\):

Для этого участка площадь можно вычислить, используя разность функций:
\[S_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - (2x-x^2)) \, dx\]

2) Участок между графиками \(y=x^3\) и \(y=2x-x^2\) на интервале \([0, 1]\):

То же самое можно сделать для этого участка:
\[S_2 = \int_{0}^{1} ((2x-x^2) - x^3) \, dx\]

3) Участок между графиком \(y=x^3\) и осью \(x\) на интервале \([1, +\infty)\):

Для этого участка площадь равна:
\[S_3 = \int_{1}^{+\infty} x^3 \, dx\]

Таким образом, общая площадь области заключенной между графиками функций \(y=x^3\), \(y=2x-x^2\) и осью \(x\) равна сумме этих трех площадей:

\[S = S_1 + S_2 + S_3\]

Чтобы вычислить значение этих интегралов, нам потребуется выполнить интегрирование. Я могу провести эти вычисления для вас или объяснить каждый шаг по вашей просьбе.