У озера есть форма, похожая на улитку Паскаля, заданную уравнением r=6+sin( varphi). На этом озере находится остров

Добро пожаловать! Для решения данной задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов:

Шаг 1: Построение графика формы улитки Паскаля
Для построения формы улитки Паскаля, нам нужно заполнить таблицу значений (\varphi, r) при значениях угла \varphi, равных 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2 и 2\pi. Давайте заполним таблицу:

\(\varphi\) | \(r\)
------------|-----
0 | 6
\(\pi/2\) | 7
\(\pi\) | 6
\(3\pi/2\) | 5
\(2\pi\) | 6

Теперь, на основе этих значений, мы можем построить график формы улитки Паскаля. Вот изображение озера и формы улитки:

[вставить изображение озера и улитки Паскаля]

Шаг 2: Вычисление площади формы улитки Паскаля
Теперь, чтобы найти площадь водной поверхности озера, ограниченную формой улитки Паскаля, мы можем использовать формулу интеграла:

\[S_1=\frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi}r^2(\varphi)d\varphi\]

Подставляя в эту формулу наши значения \(r\), мы можем вычислить площадь \(S_1\). Для простоты расчетов, будем использовать приближенные значения \(r\):

\[S_1=\frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi}6^2 d\varphi = \frac{1}{2}\cdot 6^2 \cdot (2\pi - 0) = 36\pi \approx 113.097\text{ км}^2\]

Шаг 3: Вычисление площади водной поверхности озера
Для вычисления площади водной поверхности озера, нам необходимо вычесть площадь острова из площади формы улитки Паскаля. Площадь острова равна площади эллипса:

\[S_2 = \pi \cdot a \cdot b = \pi \cdot 1 \cdot 2 = 2\pi \approx 6.283\text{ км}^2\]

Теперь мы можем вычислить площадь водной поверхности озера, вычитая площадь острова из площади формы улитки Паскаля:

\[S_{\text{озера}} = S_1 - S_2 = 36\pi - 2\pi = 34\pi \approx 106.814\text{ км}^2\]

Ответ: Площадь водной поверхности озера, ограниченной формой улитки Паскаля, составляет примерно 106.814 квадратных километров.