Какова площадь области, ограниченной графиком функции y=0,5x^2-2x+3 и y=7-x?

Хорошо, давайте решим эту задачу. Мы должны найти площадь области, которая ограничена двумя графиками: y = 0,5x^2 - 2x + 3 и y = 7 - x. Для этого нам понадобится найти точки пересечения этих двух графиков.

Для начала, найдем точку пересечения, где y-values обоих функций равны друг другу:
0,5x^2 - 2x + 3 = 7 - x

А теперь решим эту уравнение. Приведем его к квадратичному виду и решим его, чтобы найти значения x:

0,5x^2 - 3x + 4 = 0

Можем использовать квадратное уравнение или поиск дискриминанта для нахождения решения. Поскольку мы хотим дать пошаговое решение, воспользуемся формулой дискриминанта.

Дискриминант D вычисляется по формуле:
D = b^2 - 4ac

Где у нас коэффициенты a = 0,5, b = -3 и c = 4.
Вычислим дискриминант:

D = (-3)^2 - 4(0,5)(4)
D = 9 - 8
D = 1

Поскольку дискриминант положительный, значит, у нас есть два решения для x.

Теперь найдем x, используя формулу:
x = (-b ± √D) / 2a

Заменим значения в формулу и рассчитаем x:

x = (-(-3) ± √1) / 2(0,5)
x = (3 ± 1) / 1
x1 = 4
x2 = 2

У нас есть две точки пересечения: (4, 3) и (2, 5).

Теперь нам нужно найти y-values этих точек, подставив значения x в одно из уравнений. Давайте возьмем первое уравнение y = 0,5x^2 - 2x + 3:

y1 = 0,5(4)^2 - 2(4) + 3
y1 = 0,5 * 16 - 8 + 3
y1 = 8 - 8 + 3
y1 = 3

y2 = 0,5(2)^2 - 2(2) + 3
y2 = 0,5 * 4 - 4 + 3
y2 = 2 - 4 + 3
y2 = 1

Теперь у нас есть точки пересечения: (4, 3) и (2, 1).

Чтобы найти площадь области, мы должны взять интеграл от функции с меньшим значением y до функции с большим значением y. В данном случае, это от y = 0,5x^2 - 2x + 3 до y = 7 - x.

Интеграл показывает площадь между двумя функциями на заданном интервале. Возьмем интеграл по x от x = 2 до x = 4. Используем формулу:

Площадь = ∫[нижний предел]^[верхний предел] (функция верхнего графика - функция нижнего графика) dx

Подставим наши функции и пределы интегрирования:

Площадь = ∫[2]^4 (7 - x - (0,5x^2 - 2x + 3)) dx

Теперь посчитаем этот интеграл. Первообразная каждой функции:

∫(7 - x) dx = 7x - 0,5x^2
∫(0,5x^2 - 2x + 3) dx = (0,5/3)x^3 - x^2 + 3x

Теперь вычислим интеграл:

∫[2]^4 (7 - x - (0,5x^2 - 2x + 3)) dx = [7x - 0,5x^2 - ((0,5/3)x^3 - x^2 + 3x)] [2]^4

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования и посчитаем:

[7(4) - 0,5(4)^2 - ((0,5/3)(4)^3 - (4)^2 + 3(4))] - [7(2) - 0,5(2)^2 - ((0,5/3)(2)^3 - (2)^2 + 3(2))]

Вычисляя это, получаем:

[21 - 32/3] - [7 - 2/3] = 42/3 - 35/3 = 7/3

Итак, площадь области, ограниченной графиками функций y = 0,5x^2 - 2x + 3 и y = 7 - x, равна 7/3.