Каковы исходные размеры прямоугольника, если его площадь составляет 180 квадратных сантиметров, и если одну

Для решения данной задачи, давайте сначала обозначим исходные размеры прямоугольника. Пусть одна из сторон равна $x$, а другая сторона равна $y$ (в сантиметрах).

Из условия задачи мы знаем, что площадь прямоугольника равна 180 квадратных сантиметров:

$$S=180{\text{см}}^2$$

Также в условии сказано, что если одну из сторон уменьшить на 3 сантиметра, а другую сторону - на 2 сантиметра, то площадь прямоугольника будет составлять 120 квадратных сантиметров:

$$(x-3)\cdot (y-2)=120{\text{см}}^2$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$\{\begin{array}{l}xy=180\\ (x-3)\cdot (y-2)=120\end{array}$$

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановок или методом исключения переменных. Давайте воспользуемся методом подстановок.

Из первого уравнения можно выразить одну переменную через другую, например, $x$ через $y$:

$$x=\frac{180}{y}$$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение и решим его:

$$(\frac{180}{y}-3)\cdot (y-2)=120$$

Упростим это уравнение:

$$\frac{180-3y}{y}\cdot (y-2)=120$$

Раскроем скобки:

$$\frac{180y-360-3y^2+6y}{y}=120$$

Упростим дальше:

$$180y-360-3y^2+6y=120y$$

$$3y^2-66y+360=0$$

Теперь это уравнение можно решить с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Но для того, чтобы решить его проще, мы можем заметить, что у нас есть делитель 3, который присутствует во всех членах:

$$3(y^2-22y+120)=0$$

Получаем:

$$y^2-22y+120=0$$

Теперь решим это уравнение. Либо можно воспользоваться квадратным трехчленом или факторизацией, либо воспользуемся формулой дискриминанта:

$$D=b^2-4ac$$

$$D=(-22{)}^2-4\cdot 1\cdot 120=484-480=4$$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Поэтому:

$$y_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

$$y_{1,2}=\frac{22\pm \sqrt{4}}{2}=\frac{22\pm 2}{2}$$

Таким образом, получаем два решения: $y_1=12$ и $y_2=10$.

Теперь, когда у нас есть значения для $y$, мы можем подставить их в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения для $x$:

$$xy=180$$

$$x_1=\frac{180}{y_1}=\frac{180}{12}=15$$

$$x_2=\frac{180}{y_2}=\frac{180}{10}=18$$

Таким образом, исходные размеры прямоугольника равны $x_1=15$ см и $y_1=12$ см или $x_2=18$ см и $y_2=10$ см, в зависимости от выбранного значения для $y$.