Каковы исходные размеры прямоугольника, если его площадь составляет 180 квадратных сантиметров, и если одну

Для решения данной задачи, давайте сначала обозначим исходные размеры прямоугольника. Пусть одна из сторон равна \(x\), а другая сторона равна \(y\) (в сантиметрах).

Из условия задачи мы знаем, что площадь прямоугольника равна 180 квадратных сантиметров:

\[S = 180 \, \text{см}^2\]

Также в условии сказано, что если одну из сторон уменьшить на 3 сантиметра, а другую сторону - на 2 сантиметра, то площадь прямоугольника будет составлять 120 квадратных сантиметров:

\[(x - 3) \cdot (y - 2) = 120 \, \text{см}^2\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{cases} xy = 180\\ (x - 3) \cdot (y - 2) = 120\end{cases}\]

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановок или методом исключения переменных. Давайте воспользуемся методом подстановок.

Из первого уравнения можно выразить одну переменную через другую, например, \(x\) через \(y\):

\[x = \frac{180}{y}\]

Теперь подставим это выражение для \(x\) во второе уравнение и решим его:

\[(\frac{180}{y} - 3) \cdot (y - 2) = 120\]

Упростим это уравнение:

\[\frac{180 - 3y}{y} \cdot (y - 2) = 120\]

Раскроем скобки:

\[\frac{180y - 360 - 3y^2 + 6y}{y} = 120\]

Упростим дальше:

\[180y - 360 - 3y^2 + 6y = 120y\]

\[3y^2 - 66y + 360 = 0\]

Теперь это уравнение можно решить с помощью факторизации или квадратного трехчлена. Но для того, чтобы решить его проще, мы можем заметить, что у нас есть делитель 3, который присутствует во всех членах:

\[3(y^2 - 22y + 120) = 0\]

Получаем:

\[y^2 - 22y + 120 = 0\]

Теперь решим это уравнение. Либо можно воспользоваться квадратным трехчленом или факторизацией, либо воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 484 - 480 = 4\]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Поэтому:

\[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[y_{1,2} = \frac{22 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{22 \pm 2}{2}\]

Таким образом, получаем два решения: \(y_1 = 12\) и \(y_2 = 10\).

Теперь, когда у нас есть значения для \(y\), мы можем подставить их в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения для \(x\):

\[xy = 180\]

\[x_1 = \frac{180}{y_1} = \frac{180}{12} = 15\]

\[x_2 = \frac{180}{y_2} = \frac{180}{10} = 18\]

Таким образом, исходные размеры прямоугольника равны \(x_1 = 15\) см и \(y_1 = 12\) см или \(x_2 = 18\) см и \(y_2 = 10\) см, в зависимости от выбранного значения для \(y\).