Какова первообразная функции в общем виде для следующих выражений? 1) f(x)=14x^6+3x^5+15 2) f(x)=9/2√3x+2+2/sin^2

Конечно! Давайте решим каждую задачу по порядку:

1) Для заданной функции \( f(x) = 14x^6 + 3x^5 + 15 \), нужно найти ее первообразную функцию \( F(x) \).

Прежде чем начать, давайте вспомним формулы для вычисления первообразной функции. Для мономов вида \( ax^n \), где \( a \) и \( n \) - константы, первообразная функция будет иметь вид \( \frac{a}{n+1}x^{n+1} \).

Теперь применим эту формулу к каждому слагаемому и найдем первообразные функции для каждого из них:

- Первообразная функция для слагаемого \( 14x^6 \) будет иметь вид \( \frac{14}{6+1}x^{6+1} = 2x^7 \).
- Первообразная функция для слагаемого \( 3x^5 \) будет иметь вид \( \frac{3}{5+1}x^{5+1} = \frac{1}{2}x^6 \).
- Первообразная функция для слагаемого 15 будет иметь вид \( 15x \).

Собрав все эти слагаемые вместе, мы можем записать первообразную функцию в общем виде: \( F(x) = 2x^7 + \frac{1}{2}x^6 + 15x \).

2) Теперь рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{9}{2\sqrt{3}x+2} + \frac{2}{\sin^2x} \). Мы хотим найти ее первообразную функцию \( F(x) \).

Поскольку у нас есть сложная дробь, нам нужно упростить ее перед вычислением первообразной функции.

- Рассмотрим слагаемое \( \frac{9}{2\sqrt{3}x+2} \). Для упрощения, мы можем умножить числитель и знаменатель на \( \frac{2}{\sqrt{3}} \), чтобы избавиться от корня. Получим \( \frac{18}{4\sqrt{3}x+4} \).
- Теперь рассмотрим слагаемое \( \frac{2}{\sin^2x} \). Мы знаем, что \( \sin^2x = 1 - \cos^2x \). Заменим это выражение: \( \frac{2}{1 - \cos^2x} \).

Теперь, когда дроби упрощены, мы можем приступить к вычислению первообразной функции:

- Первообразная функция для слагаемого \( \frac{18}{4\sqrt{3}x+4} \) будет иметь вид \( \frac{18}{4\sqrt{3}} \ln|4\sqrt{3}x+4| = \frac{9}{\sqrt{3}} \ln|4\sqrt{3}x+4| \).
- Первообразная функция для слагаемого \( \frac{2}{1 - \cos^2x} \) будет иметь вид \( \arctan(\cos x) \).

Соединив оба слагаемых вместе, мы можем записать первообразную функцию в общем виде: \( F(x) = \frac{9}{\sqrt{3}} \ln|4\sqrt{3}x+4| + \arctan(\cos x) \).

3) Наконец, рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{4\sin x}{4} + \cos 2x \). Нам нужно найти ее первообразную функцию \( F(x) \).

- Слагаемое \( \frac{4\sin x}{4} \) можно упростить до \( \sin x \).
- Слагаемое \( \cos 2x \) остается без изменений.

Теперь мы можем записать первообразную функцию в общем виде: \( F(x) = -\cos x + \frac{1}{2}\sin 2x \).

Итак, первообразные функции для данных выражений выглядят следующим образом:
1) \( F(x) = 2x^7 + \frac{1}{2}x^6 + 15x \)
2) \( F(x) = \frac{9}{\sqrt{3}} \ln|4\sqrt{3}x+4| + \arctan(\cos x) \)
3) \( F(x) = -\cos x + \frac{1}{2}\sin 2x \)

Надеюсь, это подробное решение помогло вам! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать.