Какова область определения функции f(x) = √(x + 3) + 8/(x^2 - 36)?

Чтобы определить область определения функции \(f(x) = \sqrt{x + 3} + \frac{8}{{x^2 - 36}}\), нужно найти значения \(x\), для которых функция \(f(x)\) определена и имеет смысл. Область определения функции состоит из всех возможных значений аргумента \(x\), при которых равенство \(f(x)\) имеет смысл и не приводит к делению на ноль или извлечению корня из отрицательного числа.

Давайте разберемся с каждым ограничением по очереди.

1. Извлечение корня: функция \(f(x) = \sqrt{x + 3}\) будет определена только при неотрицательных значениях аргумента \(x\), так как нельзя извлекать корень из отрицательного числа. То есть, чтобы корень из \(x + 3\) имел смысл, выражение \(x + 3\) должно быть больше или равно нулю: \(x + 3 \geq 0\). Решая это неравенство, получаем \(x \geq -3\).

2. Деление на ноль: функция \(f(x) = \frac{8}{{x^2 - 36}}\) будет определена только при ненулевых значениях знаменателя \(x^2 - 36\), так как деление на ноль недопустимо. Чтобы найти значения \(x\), при которых знаменатель не равен нулю, решим уравнение \(x^2 - 36 \neq 0\). Факторизуем его: \((x - 6)(x + 6) \neq 0\). Здесь мы используем разность квадратов. Таким образом, у нас есть два случая: \(x - 6 \neq 0\) и \(x + 6 \neq 0\). Или, исключая ноль, \(x \neq 6\) и \(x \neq -6\).

Таким образом, объединяя оба ограничения, мы получаем область определения функции \(f(x)\):

\[x \geq -3\] и \[x \neq 6, -6\]

Подытоживая, функция \(f(x) = \sqrt{x + 3} + \frac{8}{{x^2 - 36}}\) определена и имеет смысл при \(x\) больше или равно \(-3\) и \(x\) не равно \(6\) или \(-6\).