Каковы корни уравнения 9x^2 + 40x + 16

Хорошо, давайте пошагово решим данную квадратное уравнение.

Уравнение: \(9x^2 + 40x + 16 = 0\)

1. Проверяем, можно ли факторизовать данное уравнение. Однако здесь нельзя просто разложить его на два множителя, поэтому нам нужно использовать формулу дискриминанта.

2. Найдем значение дискриминанта (\(D\)):
\(D = b^2 - 4ac\)
В данном случае \(a = 9\), \(b = 40\) и \(c = 16\), поэтому:
\(D = 40^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16\)

3. Вычислим значение дискриминанта:
\(D = 1600 - 576\)

4. Теперь найдем корни уравнения, используя формулу:
Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных действительных корня.
Если \(D = 0\), то уравнение имеет один действительный корень кратности 2.
Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней, а имеет два мнимых корня.

5. Вычислим корни уравнения:
Подставим значения \(a = 9\), \(b = 40\) и \(c = 16\) в формулу:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)

6. Рассчитаем корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-40 + \sqrt{1600 - 576}}{2 \cdot 9}\)
\(x_2 = \frac{-40 - \sqrt{1600 - 576}}{2 \cdot 9}\)

7. Вычислим значения под корнем:
\(x_1 = \frac{-40 + \sqrt{1024}}{18}\)
\(x_2 = \frac{-40 - \sqrt{1024}}{18}\)

8. Упрощаем выражения под корнем:
\(x_1 = \frac{-40 + 32}{18}\)
\(x_2 = \frac{-40 - 32}{18}\)

9. Подсчитываем числительы:
\(x_1 = \frac{-8}{18}\)
\(x_2 = \frac{-72}{18}\)

10. Приводим дроби к несократимому виду:
\(x_1 = -\frac{4}{9}\)
\(x_2 = -4\)

Ответ: Корни уравнения \(9x^2 + 40x + 16 = 0\) равны: \(x_1 = -\frac{4}{9}\) и \(x_2 = -4\)