Сколько способов можно выбрать по три фехтовальщика для участия в соревнованиях из двух спортивных обществ, в каждом

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать комбинаторику и формулу сочетания.

Формула сочетания, которую мы будем использовать здесь, выглядит следующим образом:

\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем из общего числа.

В данной задаче у нас есть два спортивных общества, каждое из которых имеет 40 фехтовальщиков, и нам нужно выбрать по три фехтовальщика из каждого общества для участия в соревнованиях.

Используя формулу сочетания, мы можем вычислить количество способов выбрать по три фехтовальщика из каждого общества:

\[C_{40}^3 \cdot C_{40}^3\]

Вычислим каждую часть по отдельности:

\[C_{40}^3 = \frac{{40!}}{{3! \cdot (40-3)!}} = \frac{{40!}}{{3! \cdot 37!}}\]

Далее, упростим это выражение:

\[C_{40}^3 = \frac{{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37!}}{{3! \cdot 37!}} = \frac{{40 \cdot 39 \cdot 38}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{40 \cdot 39 \cdot 38}}{{6}} = 9880\]

Теперь вычислим количество способов выбрать по три фехтовальщика из второго общества:

\[C_{40}^3 = \frac{{40!}}{{3! \cdot (40-3)!}} = \frac{{40!}}{{3! \cdot 37!}}\]

Аналогично, упростим это выражение:

\[C_{40}^3 = \frac{{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37!}}{{3! \cdot 37!}} = \frac{{40 \cdot 39 \cdot 38}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{40 \cdot 39 \cdot 38}}{{6}} = 9880\]

Теперь мы можем получить окончательный ответ, умножив эти два значения друг на друга:

\[9880 \cdot 9880 = 97,454,400\]

Таким образом, существует 97,454,400 способов выбрать по три фехтовальщика для участия в соревнованиях из двух спортивных обществ, каждое из которых имеет 40 фехтовальщиков.