Каковы значения cos a и tg a, если sin a равно 1/√3 и a находится в интервале от π/2

Для решения этой задачи, нам понадобятся тригонометрические соотношения и специфический интервал для \(a\). Дано, что \(\sin a = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Мы знаем, что в интервале от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\) значения \(\sin a\) положительны. Так как \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) положительна, мы можем сказать, что \(a\) находится в данном интервале.

Теперь мы можем использовать соотношения между тригонометрическими функциями, чтобы найти значения \(\cos a\) и \(\tan a\). Начнем с соотношения \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\), которое является следствием тождества Пифагора для тригонометрических функций.

Подставим данное значение \(\sin a\) и решим уравнение:

\(\cos^2 a + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1\)

\(\cos^2 a + \frac{1}{3} = 1\)

Вычтем \(\frac{1}{3}\) из обеих сторон уравнения:

\(\cos^2 a = \frac{2}{3}\)

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\(\cos a = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\)

Так как \(a\) находится в интервале от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\), значит \(\cos a\) будет положительным в данном интервале. Поэтому получаем:

\(\cos a = \sqrt{\frac{2}{3}}\)

Теперь, чтобы найти значение \(\tan a\), мы можем использовать соотношение \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\). Подставим известные значения:

\(\tan a = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}}\)

Для удобства деления на дробь перевернем и умножим:

\(\tan a = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{3}}}\)

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\(\tan a = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\)

\(\tan a = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)

\(\tan a = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Таким образом, значения \(\cos a\) и \(\tan a\) при условии \(\sin a = \frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(a\) находится в интервале от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\), равны соответственно \(\cos a = \sqrt{\frac{2}{3}}\) и \(\tan a = \frac{1}{\sqrt{2}}\).