Какова неотрицательная точка максимального значения функции f(x)=1/2x^4-x^3-3/2x^2?

Хорошо! Чтобы найти неотрицательную точку максимального значения функции \(f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 - \frac{3}{2}x^2\), нам понадобится применить дифференциальное исчисление.

Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^4 - x^3 - \frac{3}{2}x^2\right).\]

Производная функции \(f(x)\) позволяет найти точки экстремума, то есть точки, в которых значение функции достигает максимума или минимума.

Шаг 2: Продифференцируем функцию \(f(x)\), используя правила дифференцирования. Найдем производные слагаемых по отдельности:
\[f"(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^4\right) - \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^2\right).\]

По правилу степенной функции, производная функции \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\). Применяя это правило к каждому слагаемому, получаем:
\[f"(x) = \frac{1}{2} \cdot 4x^{4-1} - 3x^{3-1} - \frac{3}{2} \cdot 2x^{2-1}.\]

Упростим выражение:
\[f"(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x.\]

Шаг 3: Теперь найдем корни производной \(f"(x)\), то есть значения \(x\), при которых производная равна нулю.

\[2x^3 - 3x^2 - 3x = 0\]

Шаг 4: Факторизуем это уравнение, чтобы найти корни. Обратите внимание, что \(x\) является общим множителем, поэтому мы можем вынести \(x\) за скобку:

\[x(2x^2 - 3x - 3) = 0.\]

Теперь факторизуем внутреннее выражение \(2x^2 - 3x - 3\):

\[(x - 1)(2x + 3) = 0.\]

И получаем два корня: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -\frac{3}{2}\).

Шаг 5: Для определения, является ли точка \(x\) максимальной или минимальной, мы должны проанализировать вторую производную функции \(f(x)\), обозначенную как \(f""(x)\).

\[f""(x) = \frac{d^2}{dx^2} (2x^3 - 3x^2 - 3x).\]

Снова продифференцируем функцию, используя правила дифференцирования:
\[f""(x) = 6x^2 - 6x - 3.\]

Шаг 6: Подставим найденные значения корней \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -\frac{3}{2}\) в \(f""(x)\) и определим значение второй производной.

\[f""(1) = 6 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 - 3 = -3 < 0.\]
\[f""\left(-\frac{3}{2}\right) = 6 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 6 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) - 3 = -12 < 0.\]

Шаг 7: Из результатов, мы видим, что значение второй производной отрицательное для обоих корней \(x_1\) и \(x_2\). Это означает, что функция \(f(x)\) достигает локального максимума в точках \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -\frac{3}{2}\).

Таким образом, неотрицательная точка максимального значения функции \(f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 - \frac{3}{2}x^2\) равна \(x = 1\).

Обратите внимание, что мы предполагали, что значение функции будет неотрицательным, и поэтому \(x = 1\) будет точкой максимального значения только в этом случае. Если нужно найти точку максимального значения, не задавая ограничений на \(x\), следует изучить весь интервал определения функции.