Какова минимальная длина периода остатков степеней двойки при делении на простое число?

Чтобы найти минимальную длину периода остатков степеней двойки при делении на простое число, давайте рассмотрим несколько примеров.

Для начала, рассмотрим деление степеней двойки на простое число 2:

\[
\begin{{align*}}
2^1 \mod 2 &= 0 \\
2^2 \mod 2 &= 0 \\
2^3 \mod 2 &= 0 \\
\end{{align*}}
\]

Как видно из примера, остаток от деления любой степени двойки на 2 всегда будет равен 0. Таким образом, период остатков в данном случае составляет всего лишь 1.

Рассмотрим теперь деление степеней двойки на простое число 3:

\[
\begin{{align*}}
2^1 \mod 3 &= 2 \\
2^2 \mod 3 &= 1 \\
2^3 \mod 3 &= 2 \\
2^4 \mod 3 &= 1 \\
2^5 \mod 3 &= 2 \\
2^6 \mod 3 &= 1 \\
\end{{align*}}
\]

В данном случае, мы видим, что остатки от деления степеней двойки на 3 образуют период длиной 2: 2, 1.

Рассмотрим еще один пример - деление степеней двойки на простое число 5:

\[
\begin{{align*}}
2^1 \mod 5 &= 2 \\
2^2 \mod 5 &= 4 \\
2^3 \mod 5 &= 3 \\
2^4 \mod 5 &= 1 \\
2^5 \mod 5 &= 2 \\
2^6 \mod 5 &= 4 \\
2^7 \mod 5 &= 3 \\
2^8 \mod 5 &= 1 \\
\end{{align*}}
\]

В этом случае, период остатков составляет 4: 2, 4, 3, 1.

Из этих примеров можно сделать вывод, что период остатков степеней двойки при делении на простое число \(p\) равен \(p-1\). Таким образом, минимальная длина периода остатков степеней двойки при делении на простое число составляет \(p-1\).

Обоснование этого факта можно найти в теории чисел, используя такие понятия, как остатки, целые числа и применение малой теоремы Ферма, но для понятности объяснения школьнику, данное объяснение должно быть достаточным. Школьнику не обязательно знать доказательство данного факта, но он может использовать его для решения подобных задач.