Какова форма графика функции f(x)=x²+2x-3? Что можно сказать о диапазоне значений этой функции? В каком интервале

Функция \(f(x) = x^2 + 2x - 3\) является квадратичной функцией. Для того чтобы понять форму графика этой функции, мы можем провести некоторые действия.

1. Сначала найдем вершину графика. Вершина графика квадратичной функции находится в точке \((h, k)\), где \(h = -\frac{b}{2a}\) и \(k = f(h)\). В данном случае, коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) равны соответственно 1, 2 и -3. Подставляя значения в формулу, получим:

\(h = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\)

\(k = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 0\)

Таким образом, вершина графика функции \(f(x)\) находится в точке \((-1, 0)\).

2. Затем определим направление открытия параболы. Если коэффициент \(a\) положительный, парабола будет обращена вверх («U»-образная), а если отрицательный, то вниз («∩»-образная). В данном случае, \(a = 1\), поэтому парабола будет обращена вверх.

3. Теперь рассмотрим диапазон значений функции. Поскольку парабола обращена вверх, минимальное значение функции будет равно значению вершины графика, то есть \(k = 0\). Значит, диапазон значений функции \(f(x)\) в данном случае является множеством всех неотрицательных чисел: \([0, +\infty)\).

4. Чтобы определить интервал возрастания функции, мы должны найти точки, где производная функции положительна. Для данной функции, найдем производную \(f"(x)\) и решим неравенство \(f"(x) > 0\):

\(f"(x) = 2x + 2\)

Чтобы решить неравенство \(f"(x) > 0\), мы должны найти значения x, для которых \(f"(x)\) положительно. Решая неравенство, получим:

\(2x + 2 > 0\)

\(2x > -2\)

\(x > -1\)

Таким образом, функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((-1, +\infty)\).

5. Для нахождения решений неравенства \(f(x) > 0\), мы должны найти значения x, для которых \(f(x)\) положительно. Решая неравенство, получим:

\(x^2 + 2x - 3 > 0\)

Мы можем решить это неравенство, используя график функции или метод факторизации. Факторизуем левую часть:

\((x - 1)(x + 3) > 0\)

Теперь мы можем использовать метод интервалов и построить таблицу знаков:

\[
\begin{array}{ |c|c|c|c|c| }
\hline
x & -\infty & -3 & 1 & +\infty \\
\hline
(x - 1)(x + 3) & - & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы знаков видно, что неравенство \(f(x) > 0\) выполняется на интервалах \((-3, 1)\) и \((+\infty)\).

Таким образом, форма графика функции \(f(x) = x^2 + 2x - 3\) является «U»-образной параболой, диапазон значений функции является множеством неотрицательных чисел \([0, +\infty)\), функция возрастает на интервале \((-1, +\infty)\), и решения неравенства \(f(x) > 0\) находятся на интервалах \((-3, 1)\) и \((+\infty)\).