Какова длина диагонали квадрата, у которого радиус вписанной окружности составляет 8√2?

Для начала, нам нужно понять некоторые свойства квадрата и его вписанной окружности.

Длина диагонали квадрата можно выразить через его сторону, и мы знаем, что все стороны квадрата равны друг другу. Обозначим длину стороны квадрата как \(s\), а длину его диагонали как \(d\).

Теперь рассмотрим вписанную окружность. Она касается всех сторон квадрата в своих точках касания. Так как радиус вписанной окружности равен \(8\sqrt{2}\), давайте найдем его длину.

Диаметр окружности равен длине стороны квадрата, потому что окружность касается сторон квадрата в своих точках касания. Поэтому диаметр равен \(s\).

Из свойств окружности мы знаем, что диаметр это удвоенный радиус. Значит, у нас есть следующее равенство:

\[2r = s\]

Мы знаем, что радиус вписанной окружности равен \(8\sqrt{2}\), поэтому:

\[2 \cdot 8\sqrt{2} = s\]

\[16\sqrt{2} = s\]

Теперь мы можем найти длину диагонали \(d\) с помощью теоремы Пифагора. Так как квадрат с длиной стороны \(s\) имеет две прямоугольные стороны одинаковой длины, диагональ \(d\) будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника. Другие две стороны треугольника будут равны \(s\).

Применяя теорему Пифагора, мы получаем:

\[d^2 = s^2 + s^2\]

\[d^2 = 2s^2\]

Теперь мы можем подставить \(s = 16\sqrt{2}\) в это уравнение:

\[d^2 = 2 \cdot (16\sqrt{2})^2\]

\[d^2 = 2 \cdot 256 \cdot 2\]

\[d^2 = 1024\]

Чтобы найти длину диагонали \(d\), мы извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[d = \sqrt{1024}\]

\[d = 32\]

Итак, длина диагонали квадрата, у которого радиус вписанной окружности составляет \(8\sqrt{2}\), равна 32.