Каков объем правильной четырехугольной призмы, если диагональ равна 4√2 и угол с плоскостью боковой грани составляет

Чтобы решить данную задачу, мы сначала должны понять, что такое правильная четырехугольная призма. Правильная четырехугольная призма - это призма с четырехугольными боковыми гранями, у которых все стороны равны, и верхние и нижние грани являются параллелограммами.

Дано, что диагональ равна 4√2 и угол с плоскостью боковой грани составляет 30∘. Мы можем использовать эти данные для определения размеров четырехугольной призмы.

Пусть сторона призмы равна \(a\). Так как верхние и нижние грани являются параллелограммами, то их диагонали тоже равны диагонали призмы, то есть 4√2.

Из симметрии фигуры следует, что угол между диагоналями верхней или нижней грани и диагональю призмы также равен 30∘. Поскольку стороны параллелограмма равны и углы между диагоналями и сторонами также равны, мы можем разделить параллелограмм (или грань призмы) на два равных треугольника. Угол между диагональю и одной из сторон такого треугольника равен 30∘.

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для определения стороны параллелограмма. В таком треугольнике, где угол между диагональю и одной из сторон равен 30∘, мы можем применить соотношение тангенса:

\[
\tan(30^\circ) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{прилежащая сторона}}}}
\]

Значение тангенса 30∘ равно \(\frac{1}{{\sqrt{3}}}\). Пусть \(b\) - длина стороны параллелограмма, примыкающей к диагонали. Тогда мы можем записать уравнение:

\[
\frac{1}{{\sqrt{3}}} = \frac{{b/2}}{{a/2}} \Rightarrow b = \frac{{a\sqrt{3}}}{2}
\]

Мы также можем найти высоту параллелограмма, используя те же соотношения тангенса и применяя его к углу 60∘, так как сумма углов в треугольнике равна 180∘:

\[
\tan(60^\circ) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{прилежащая сторона}}}} = \frac{{h}}{{b/2}}
\]

Значение тангенса 60∘ равно \(\sqrt{3}\). Подставляя значение \(b = \frac{{a\sqrt{3}}}{2}\), мы получаем:

\[
\sqrt{3} = \frac{{h}}{{\frac{{a\sqrt{3}}}{2}}} \Rightarrow h = \frac{{a\sqrt{3}}}{2}\sqrt{3} = \frac{{3a}}{2}
\]

Теперь у нас есть все необходимые размеры для определения объема четырехугольной призмы. Объем призмы равен произведению площади основания на ее высоту:

\[
V = \text{{площадь основания}} \times \text{{высота}}
\]

Площадь основания призмы равна площади параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению длины стороны на высоту:

\[
S = b \times h = \frac{{a\sqrt{3}}}{2} \times \frac{{3a}}{2} = \frac{{3a^2\sqrt{3}}}{4}
\]

Теперь мы можем выразить объем призмы:

\[
V = \frac{{3a^2\sqrt{3}}}{4} \times \frac{{3a}}{2} = \frac{{9a^3\sqrt{3}}}{8}
\]

Таким образом, объем правильной четырехугольной призмы равен \(\frac{{9a^3\sqrt{3}}}{8}\), где \(a\) - длина стороны призмы.