Каков косинус острого угла между прямыми AC и BD, где точки A, B, C и D имеют координаты A(5; -2); B(3; 8); C(0; 7

Чтобы найти косинус острого угла между прямыми AC и BD, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдите векторы AC и BD.
2. Найдите скалярное произведение этих векторов.
3. Найдите длины векторов AC и BD.
4. Используя формулу косинуса, найдите косинус угла между прямыми AC и BD.

Давайте выполним каждый шаг подробно.

Шаг 1: Найдите векторы AC и BD.

Вектор AC можно найти вычитая координаты начальной точки A из координат конечной точки C:

\[
\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (0 - 5, 7 - (-2)) = (-5, 9)
\]

Вектор BD можно найти вычитая координаты начальной точки B из координат конечной точки D:

\[
\overrightarrow{BD} = (x_D - x_B, y_D - y_B) = (-5 - 3, 4 - 8) = (-8, -4)
\]

Шаг 2: Найдите скалярное произведение этих векторов.

Скалярное произведение векторов AC и BD можно найти, умножив соответствующие компоненты векторов и сложив результаты:

\[
\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (-5 \cdot -8) + (9 \cdot -4) = 40 - 36 = 4
\]

Шаг 3: Найдите длины векторов AC и BD.

Длина вектора AC может быть найдена с использованием теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного компонентами вектора AC:

\[
|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-5)^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106} \approx 10.30
\]

Длина вектора BD может быть найдена аналогичным образом:

\[
|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} \approx 8.94
\]

Шаг 4: Используя формулу косинуса, найдите косинус угла между прямыми AC и BD.

Формула косинуса:

\[
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD}|}
\]

Подставим значения в формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{4}{10.30 \cdot 8.94} \approx 0.046
\]

Ответ: Косинус острого угла между прямыми AC и BD, где точки A(5; -2), B(3; 8), C(0; 7) и D(-5; 4) соответственно, равен приблизительно 0.046.