Найдите объём призмы, если её боковое ребро равно и в правильной треугольной призме abca1b1c1 проведено сечение, составляющее с плоскостью угол 30 градусов через сторону ab нижнего основания и середину ребра cc1.
Примула
Для начала решим задачу поэтапно. Дано, что у нас есть правильная треугольная призма, у которой боковое ребро равно \( a \), и проведено сечение плоскостью, составляющее угол 30 градусов через сторону \( ab \) нижнего основания и середину ребра.
1. Возьмём треугольник \( ABC \), где \( AB \) - основание призмы, а \( C \) - вершина. Поскольку призма правильная, угол \( ACB \) также будет равен 60 градусам, так как в треугольнике сумма всех углов равна 180 градусам.
2. Проведём высоту \( CD \) из вершины \( C \) до основания \( AB \) так, чтобы она пересекала основание \( AB \) в его середине \( E \).
3. Расстояние от основания \( AB \) до точки пересечения сечения \( F \) можно назвать \( x \). Также, \( EF \) - половина бокового ребра, то есть \( EF = \frac{a}{2} \).
4. Треугольник \( CEF \) является прямоугольным. Угол \( CEF \) равен 30 градусам, так как плоскость сечения составляет угол 30 градусов с плоскостью основания.
5. Зная, что треугольник \( CEF \) прямоугольный, мы можем использовать тригонометрические отношения, чтобы выразить \( CD \) через \( EF \). Конкретно, будет использоваться тангенс угла \( CEF \), который равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае, тангенс 30 градусов равен \( \tan 30^\circ = \frac{CD}{\frac{a}{2}} \).
6. Найдём \( CD \). Подставляя значение тангенса 30 градусов (\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)) и значение прилежащего катета (\(\frac{a}{2}\)), мы получаем уравнение: \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CD}{\frac{a}{2}} \).
7. Чтобы решить это уравнение относительно \( CD \), умножим обе стороны на \( \frac{a}{2} \): \( \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{a}{2} = CD \).
8. Упростим выражение: \( \frac{a}{2\sqrt{3}} = CD \).
Теперь у нас есть значение \( CD \) через \( a \), боковое ребро призмы. Чтобы найти объём призмы, мы должны найти площадь основания призмы и умножить её на высоту призмы. Поскольку основание у нас является треугольником, нужно найти его площадь.
9. Площадь треугольника \( ABC \) можно выразить через его стороны \( AB \) и \( CD \), поскольку у нас есть некоторые углы.
10. Формула для площади треугольника в общем случае: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot CD \), где \( S \) - площадь треугольника, \( a \) - длина стороны \( AB \), \( CD \) - высота треугольника.
11. Подставим значения, которые мы нашли: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
12. Упростим выражение: \( S = \frac{a^2}{4\sqrt{3}} \).
Теперь у нас есть площадь основания призмы через \( a \), и мы можем найти объём призмы, умножив площадь основания на высоту призмы.
13. Зная, что призма правильная, высота призмы равна высоте треугольника \( ABC \).
14. Чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \( ABC \), так как мы знаем сторону \( AB \) и высоту \( CD \).
15. Используя теорему Пифагора, мы получаем \( AB^2 = CD^2 + BC^2 \).
16. Подставляем значения: \( a^2 = \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 + BC^2 \).
17. Упрощаем уравнение: \( a^2 = \frac{a^2}{12} + BC^2 \).
18. Умножаем обе стороны на 12: \( 12a^2 = a^2 + 12BC^2 \).
19. Упрощаем уравнение: \( 11a^2 = 12BC^2 \).
20. Делим обе стороны на 12: \( BC^2 = \frac{11a^2}{12} \).
21. Извлекаем квадратный корень: \( BC = \sqrt{\frac{11a^2}{12}} \).
Теперь у нас есть значение \( BC \), и мы можем найти высоту треугольника.
22. Подставляем значение \( BC \) в формулу площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot CD \).
23. Подставляем значения: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
24. Упрощаем выражение: \( S = \frac{a^2}{4\sqrt{3}} \).
Теперь у нас есть площадь основания призмы и высота призмы. Чтобы найти объём призмы, мы умножим площадь основания на высоту.
25. Формула для объёма призмы: \( V = S \cdot h \), где \( V \) - объём призмы, \( S \) - площадь основания, \( h \) - высота призмы.
26. Подставляем значения: \( V = \frac{a^2}{4\sqrt{3}} \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
27. Упрощаем выражение: \( V = \frac{a^3}{24\sqrt{3}} \).
28. Ответ: объём призмы равен \( \frac{a^3}{24\sqrt{3}} \).
Таким образом, мы нашли объём призмы с помощью пошагового решения задачи и использования геометрических и тригонометрических свойств.
1. Возьмём треугольник \( ABC \), где \( AB \) - основание призмы, а \( C \) - вершина. Поскольку призма правильная, угол \( ACB \) также будет равен 60 градусам, так как в треугольнике сумма всех углов равна 180 градусам.
2. Проведём высоту \( CD \) из вершины \( C \) до основания \( AB \) так, чтобы она пересекала основание \( AB \) в его середине \( E \).
3. Расстояние от основания \( AB \) до точки пересечения сечения \( F \) можно назвать \( x \). Также, \( EF \) - половина бокового ребра, то есть \( EF = \frac{a}{2} \).
4. Треугольник \( CEF \) является прямоугольным. Угол \( CEF \) равен 30 градусам, так как плоскость сечения составляет угол 30 градусов с плоскостью основания.
5. Зная, что треугольник \( CEF \) прямоугольный, мы можем использовать тригонометрические отношения, чтобы выразить \( CD \) через \( EF \). Конкретно, будет использоваться тангенс угла \( CEF \), который равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае, тангенс 30 градусов равен \( \tan 30^\circ = \frac{CD}{\frac{a}{2}} \).
6. Найдём \( CD \). Подставляя значение тангенса 30 градусов (\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)) и значение прилежащего катета (\(\frac{a}{2}\)), мы получаем уравнение: \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CD}{\frac{a}{2}} \).
7. Чтобы решить это уравнение относительно \( CD \), умножим обе стороны на \( \frac{a}{2} \): \( \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{a}{2} = CD \).
8. Упростим выражение: \( \frac{a}{2\sqrt{3}} = CD \).
Теперь у нас есть значение \( CD \) через \( a \), боковое ребро призмы. Чтобы найти объём призмы, мы должны найти площадь основания призмы и умножить её на высоту призмы. Поскольку основание у нас является треугольником, нужно найти его площадь.
9. Площадь треугольника \( ABC \) можно выразить через его стороны \( AB \) и \( CD \), поскольку у нас есть некоторые углы.
10. Формула для площади треугольника в общем случае: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot CD \), где \( S \) - площадь треугольника, \( a \) - длина стороны \( AB \), \( CD \) - высота треугольника.
11. Подставим значения, которые мы нашли: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
12. Упростим выражение: \( S = \frac{a^2}{4\sqrt{3}} \).
Теперь у нас есть площадь основания призмы через \( a \), и мы можем найти объём призмы, умножив площадь основания на высоту призмы.
13. Зная, что призма правильная, высота призмы равна высоте треугольника \( ABC \).
14. Чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \( ABC \), так как мы знаем сторону \( AB \) и высоту \( CD \).
15. Используя теорему Пифагора, мы получаем \( AB^2 = CD^2 + BC^2 \).
16. Подставляем значения: \( a^2 = \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 + BC^2 \).
17. Упрощаем уравнение: \( a^2 = \frac{a^2}{12} + BC^2 \).
18. Умножаем обе стороны на 12: \( 12a^2 = a^2 + 12BC^2 \).
19. Упрощаем уравнение: \( 11a^2 = 12BC^2 \).
20. Делим обе стороны на 12: \( BC^2 = \frac{11a^2}{12} \).
21. Извлекаем квадратный корень: \( BC = \sqrt{\frac{11a^2}{12}} \).
Теперь у нас есть значение \( BC \), и мы можем найти высоту треугольника.
22. Подставляем значение \( BC \) в формулу площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot CD \).
23. Подставляем значения: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
24. Упрощаем выражение: \( S = \frac{a^2}{4\sqrt{3}} \).
Теперь у нас есть площадь основания призмы и высота призмы. Чтобы найти объём призмы, мы умножим площадь основания на высоту.
25. Формула для объёма призмы: \( V = S \cdot h \), где \( V \) - объём призмы, \( S \) - площадь основания, \( h \) - высота призмы.
26. Подставляем значения: \( V = \frac{a^2}{4\sqrt{3}} \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} \).
27. Упрощаем выражение: \( V = \frac{a^3}{24\sqrt{3}} \).
28. Ответ: объём призмы равен \( \frac{a^3}{24\sqrt{3}} \).
Таким образом, мы нашли объём призмы с помощью пошагового решения задачи и использования геометрических и тригонометрических свойств.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
