Яка є найменша можлива сума АХ+ХС, де Х є точкою на прямій m, яка розділяє точки A і C, розташовані в одній півплощині

Для решения этой задачи нам необходимо провести несколько шагов.

1. Построим плоскость и прямую \(m\). Обозначим точки $A$ и $C$, а также точку пересечения прямой \(m\) с плоскостью за \(X\).

2. Нарисуем перпендикуляры \(AA_1\) и \(CC_1\) на прямую \(m\).

3. Найдем длину отрезка \(AA_1\) и \(CC_1\). По условию, длина отрезка \(AA_1\) равна 7 см, а длина отрезка \(CC_1\) равна 1 см.

4. Обозначим расстояние между точками \(A\) и \(C\) за \(d\).

5. Заметим, что если точка \(X\) является серединой отрезка \(AC\), то перпендикуляры \(AA_1\) и \(CC_1\) будут равны, так как \(AX = XC\). В этом случае сумма \(AX + XC\) будет минимальной.

6. Итак, чтобы найти минимальную сумму \(AX + XC\), мы должны найти середину отрезка \(AC\).

7. Формула для нахождения середины отрезка задается следующим образом: координата \(x\) середины отрезка равна среднему значению координат \(x\) точек \(A\) и \(C\), аналогично для координат \(y\) и \(z\), если мы рассматриваем трехмерную систему координат.

8. Обозначим координаты точек \(A\) и \(C\) в трехмерном пространстве следующим образом: \(A(x_A, y_A, z_A)\) и \(C(x_C, y_C, z_C)\).

9. Координаты середины отрезка \(AC\) будут следующими: \(X(x_X, y_X, z_X)\), где \(x_X = \frac{{x_A + x_C}}{2}\), \(y_X = \frac{{y_A + y_C}}{2}\) и \(z_X = \frac{{z_A + z_C}}{2}\).

10. Теперь мы можем найти сумму \(AX + XC\) подставив значения в формулу. Сумма будет равна \(AX + XC = \sqrt{{(x_A - x_X)^2 + (y_A - y_X)^2 + (z_A - z_X)^2}} + \sqrt{{(x_X - x_C)^2 + (y_X - y_C)^2 + (z_X - z_C)^2}}\).

11. В нашем случае, поскольку мы имеем дело с плоскостью, координата \(z\) для всех точек будет равна нулю.

12. Учитывая, что \(x_X = \frac{{x_A + x_C}}{2}\) и \(y_X = \frac{{y_A + y_C}}{2}\), мы можем заменить эти значения в формулу.

13. Получим \(AX + XC = \sqrt{{(x_A - \frac{{x_A + x_C}}{2})^2 + (y_A - \frac{{y_A + y_C}}{2})^2}} + \sqrt{{(\frac{{x_A + x_C}}{2} - x_C)^2 + (\frac{{y_A + y_C}}{2} - y_C)^2}}\).

14. Сократим эту формулу для удобства: \(AX + XC = \sqrt{{\frac{{(x_A - x_C)^2}{4} + (y_A - y_C)^2}} + \sqrt{{\frac{{(x_A - x_C)^2}{4} + (y_A - y_C)^2}}}\).

15. Заметим, что оба квадратных корня равны, так как они содержат одинаковые значения подкоренных выражений.

16. Итак, минимальная сумма будет равна
\[
AX + XC = 2 \cdot \sqrt{{\frac{{(x_A - x_C)^2}{4} + (y_A - y_C)^2}}.
\]

17. Так как нам даны длины отрезков \(AA_1\) и \(CC_1\), мы можем рассчитать по формуле
\[
AA_1^2 = (x_A - x_X)^2 + (y_A - y_X)^2
\]
и
\[
CC_1^2 = (x_X - x_C)^2 + (y_X - y_C)^2.
\]

18. Подставим известные значения и получим
\[
7^2 = (x_A - \frac{{x_A + x_C}}{2})^2 + (y_A - \frac{{y_A + y_C}}{2})^2
\]
и
\[
1^2 = (\frac{{x_A + x_C}}{2} - x_C)^2 + (\frac{{y_A + y_C}}{2} - y_C)^2.
\]

19. Раскроем скобки и упростим уравнения:
\[
49 = (\frac{{x_A - x_C}}{2})^2 + (\frac{{y_A - y_C}}{2})^2
\]
и
\[
1 = (\frac{{x_A - x_C}}{2})^2 + (\frac{{y_A - y_C}}{2})^2.
\]

20. Обратим внимание, что уравнения имеют одинаковую левую часть. Получаем следующее:
\[
(\frac{{x_A - x_C}}{2})^2 + (\frac{{y_A - y_C}}{2})^2 = 49 = 1.
\]

21. Решим это уравнение. Возведем обе части в квадрат и получим:
\[
(\frac{{x_A - x_C}}{2})^2 + (\frac{{y_A - y_C}}{2})^2 = 1
\]
\[
\frac{{(x_A - x_C)^2}{4} + (y_A - y_C)^2}{4} = 1
\]
\[
(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 = 4.
\]

22. Полученное уравнение представляет собой уравнение окружности с радиусом 2 и центром в точке \((x_A, y_A)\).

23. Теперь мы имеем систему уравнений
\[
\begin{cases}
x_A + x_C = 2x_X\\
y_A + y_C = 2y_X\\
(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2 = 4.
\end{cases}
\]

24. Найдем значения координат \((x_A, y_A)\) и \((x_C, y_C)\), которые удовлетворяют этой системе уравнений.

25. Подставим значения координат \((x_A, y_A)\) и \((x_C, y_C)\) в формулу суммы \(AX + XC\) и получим минимальную сумму \(AX + XC\).