Каков периметр ромба, если больший угол составляет 120° и длина меньшей диагонали равна 9 см? Ответ предоставьте

Чтобы найти периметр ромба, нам нужно знать длину стороны ромба. Для этого воспользуемся известными данными.

Периметр ромба - это сумма длин всех его сторон. В ромбе все стороны равны между собой, поэтому нам достаточно найти длину одной его стороны.

Давайте взглянем на изображение ромба:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & A & & \\
& \nearrow & & \nwarrow & \\
C & & & & B \\
& \nwarrow & & \nearrow & \\
& & D & &
\end{array}
\]

Пусть сторона ромба равна \( x \) сантиметров. Так как ромб - равнобедренный, то меньшая диагональ разбивает ромб на два равнобедренных треугольника. Пусть точка E - середина стороны AB, тогда AE = BE = \( \frac{x}{2} \) см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник CEB, расположенный внутри ромба. Зная, что угол CEB равен 120° и длина меньшей диагонали равна 9 см, мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины стороны ромба.

Тангенс угла CEB равен отношению противоположного катета, то есть \( \frac{CE}{EA} \). Но так как равносторонний треугольник CEA и прямоугольный треугольник CEB имеют одинаковую высоту, то длина противоположного катета CE также равна \( \frac{x}{2} \) см.

Используя формулу тангенса и известное значение угла CEB, мы можем записать следующее уравнение:

\[
\tan(120^\circ) = \frac{CE}{EA} = \frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} = \frac{1}{1} = 1
\]

Теперь найдем значение тангенса угла 120°. Тангенс угла 120° равен \( -\sqrt{3} \). Почему отрицательный? Потому что угол 120° находится в третьей четверти, где тангенс отрицательный.

\[
-\sqrt{3} = \frac{x}{2}
\]

Чтобы найти значение \( x \), умножаем обе стороны уравнения на 2:

\[
-2\sqrt{3} = x
\]

Так как нам нужно найти периметр ромба, мы умножаем длину стороны на 4:

\[
\text{Периметр ромба} = 4 \cdot (-2\sqrt{3}) = -8\sqrt{3}
\]

Ответ: Периметр ромба равен \( -8\sqrt{3} \) сантиметрам.