Каков объем прямоугольного параллелепипеда с меньшей стороной основания 6 см и углом 60° между диагоналями основания

Для начала, давайте разберемся с данными задачи. У нас есть прямоугольный параллелепипед, у которого меньшая сторона основания равна 6 см. Угол между диагоналями основания составляет 60°, и диагональ образует угол с плоскостью основания.

Для того чтобы найти объем параллелепипеда, нам необходимо найти все его три размера - длину \(a\), ширину \(b\) и высоту \(h\).

Из условия задачи мы знаем, что угол между диагоналями основания составляет 60°. Заметим, что диагонали параллелепипеда представляют собой между собой пересекающиеся плоскости. Из геометрии мы знаем, что угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между их нормалями. Таким образом, угол между диагоналенными плоскостями равен углу между нормалями плоскостей основания параллелепипеда.

Теперь, чтобы найти длину и ширину основания, нам нужно найти угол между нормалями плоскостей основания.

Известно, что угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен углу между нормалями этих плоскостей. Таким образом, угол между нормалью плоскости основания и диагональю равен 90° минус угол между диагональю и плоскостью основания. В нашем случае, этот угол равен 90° - 60° = 30°.

Теперь, имея угол между нормалями плоскостей основания, мы можем восстановить плоскость основания параллелепипеда. Заметим, что эта плоскость будет симметрична относительно диагонали основания. То есть, если у нас имеется точка \(A\) на плоскости основания, то точка \(B\) противоположная ей относительно центра основания будет иметь те же координаты, но с противоположными знаками.

Чтобы найти длину и ширину основания, мы можем использовать координатную систему и выбрать начало координат в центре основания параллелепипеда. Тогда, точка \(A\) будет иметь координаты \((3,0)\), а точка \(B\) \((-3,0)\).

Поскольку мы знаем, что угол между нормалью и диагональю равен 30°, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины диагонали основания.

Используя теорему косинусов для треугольника \(\triangle AOB\), где \(OA = OB = 6\) и \(\angle AOB = 60°\), мы можем использовать следующее соотношение:

\[AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)\]

\[AB^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(60°)\]

\[AB^2 = 72\]

\[AB = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\]

Теперь, имея длину диагонали основания, мы можем найти длину и ширину основания, используя следующие соотношения:

\[a = \dfrac{AB}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}\]
\[b = \dfrac{AB}{2\cos(\angle AOB)} = \dfrac{6\sqrt{2}}{2\cos(60°)} = \dfrac{6\sqrt{2}}{2 \cdot \dfrac{1}{2}} = 6\sqrt{2}\]

Теперь у нас есть все три размера: длина \(a = 2\sqrt{6}\), ширина \(b = 6\sqrt{2}\) и высота \(h = 6\) (по условию).

Наконец, мы можем найти объем параллелепипеда, используя формулу:

\[V = a \cdot b \cdot h = (2\sqrt{6}) \cdot (6\sqrt{2}) \cdot 6 = 72\sqrt{3}\]

Таким образом, объем этого прямоугольного параллелепипеда равен \(72\sqrt{3}\) кубических сантиметров.