Каков диапазон значений x, для которого функция f(x)=x^2+4/x^2-10x-24 определена?

Для определения диапазона значений \(x\), при которых функция \(f(x) = \frac{{x^2 + 4}}{{x^2 - 10x - 24}}\) определена, нужно рассмотреть четыре случая, в которых функция может быть неопределена:

1. Знаменатель равен нулю. Значит, \((x^2 - 10x - 24) = 0\).

Для решения этого уравнения, можно воспользоваться методом факторизации. Раскладываем \(x^2 - 10x - 24\) на множители: \((x - 12)(x + 2) = 0\).

Таким образом, получаем два корня: \(x = 12\) и \(x = -2\).

2. Знаменатель отрицательный при положительном значении \(x\).

Если мы возьмем положительное значение \(x\), то знаменатель \(x^2 - 10x - 24\) должен быть отрицательным, чтобы функция была непрерывной.

Мы уже знаем, что корни уравнения \(x^2 - 10x - 24\) были найдены ранее и равны \(x = 12\) и \(x = -2\). Значит, значения \(x\) в интервале \(-\infty < x < -2\) и \(12 < x < +\infty\) приведут к отрицательным знаменателям и функция будет непрерывной.

3. Знаменатель равен нулю при отрицательном значении \(x\).

Если рассмотрим отрицательные значения \(x\), то знаменатель \(x^2 - 10x - 24\) опять должен равняться нулю, чтобы функция была непрерывной.

Из предыдущих расчетов, мы уже знаем, что \(x = -2\) является корнем уравнения \(x^2 - 10x - 24\).

4. Знаменатель положительный при отрицательном значении \(x\).

Если \(x\) отрицательно, то знаменатель \(x^2 - 10x - 24\) должен быть положительным, чтобы функция была непрерывной.

Получается, что значение \(x\) в интервале \(-2 < x < 12\) даст положительный знаменатель и функция будет непрерывной.

Итак, чтобы определить диапазон значений \(x\), для которого функция \(f(x) = \frac{{x^2 + 4}}{{x^2 - 10x - 24}}\) определена, нужно объединить эти интервалы:

\(-\infty < x < -2\) и \(-2 < x < 12\) и \(12 < x < +\infty\).

Ответ: \(-\infty < x < -2\) или \(-2 < x < 12\) или \(12 < x < +\infty\).