Какое значение шага арифметической прогрессии обеспечит наименьшее возможное значение произведения ее третьего и пятого

Наши шаги для решения этой задачи:

1. Обозначим шаг арифметической прогрессии как \(d\).
2. Первый член прогрессии обозначим как \(a_1\).
3. Третий член прогрессии будет \(a_3 = a_1 + 2d\).
4. Пятый член прогрессии будет \(a_5 = a_1 + 4d\).
5. Теперь умножим третий и пятый члены прогрессии: \(P = a_3 \cdot a_5 = (a_1 + 2d)(a_1 + 4d)\).
6. Поставим задачу минимизации произведения \(P\).
7. Произведение \(P\) будет минимальным, если его график является параболой с ветвями вверх и вершиной внизу. Это происходит, когда парабола симметрична относительно вертикальной оси.
8. Так как верхняя ветка параболы открывается вверх, минимальное значение произведения будет находиться в вершине параболы.
9. Чтобы найти координаты вершины параболы, воспользуемся формулой вершины параболы: \(x = -\frac{b}{2a}\), где в нашем случае \(x\) будет \(d\).
10. Раскроем скобки в \(P = (a_1 + 2d)(a_1 + 4d)\): \(P = a_1^2 + 6a_1d + 8d^2\).
11. Заменим \(a_1\) на \(x\) и \(d\) на \(y\), чтобы воспользоваться формулой для нахождения вершины параболы: \(P = x^2 + 6xy + 8y^2\).
12. Найдем производные по \(x\) и \(y\) от \(P\) и приравняем их к нулю, чтобы найти значения \(x\) и \(y\), соответствующие вершине параболы.
13. Производная по \(x\): \(\frac{{dP}}{{dx}} = 2x + 6y = 0\).
14. Производная по \(y\): \(\frac{{dP}}{{dy}} = 6x + 16y = 0\).
15. Решим систему уравнений из пунктов 13 и 14: \(2x + 6y = 0\) и \(6x + 16y = 0\).
16. Путем решения этой системы уравнений получим: \(x = -\frac{6}{5}\) и \(y = \frac{2}{5}\).
17. Вершина параболы имеет координаты \((-6/5, 2/5)\).
18. Подставим эти значения обратно в \(P = x^2 + 6xy + 8y^2\) и найдем минимальное значение произведения: \(P = \left(-\frac{6}{5}\right)^2 + 6 \cdot \left(-\frac{6}{5}\right) \cdot \frac{2}{5} + 8 \left(\frac{2}{5}\right)^2\).
19. Расчет приводит к \(P = \frac{2}{5}\).
20. Значение шага \(d\), при котором произведение \(P\) минимально, равно \(\frac{2}{5}\).

Таким образом, наименьшее возможное значение произведения третьего и пятого членов арифметической прогрессии будет достигаться при шаге прогрессии, равном \(\frac{2}{5}\).